Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62686 / 34118
↖ ↑ ↗
← N 64.990973°
W  7.827759°		 ← 129.10 m → N 64.990973°
W  7.825012°		 →
↑
129.14 m
↓
↑
129.14 m
↓
N 64.989812°
W  7.827759°		 ← 129.10 m →
16 672 m²		 N 64.989812°
W  7.825012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478260040283203 y=0.260303497314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478260040283203 × 217)
    floor (0.478260040283203 × 131072)
    floor (62686.5)     		tx = 62686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260303497314453 × 217)
    floor (0.260303497314453 × 131072)
    floor (34118.5)     		ty = 34118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62686 / 34118 ti = "17/62686/34118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62686/34118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62686 ÷ 217
    62686 ÷ 131072     		x = 0.478256225585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34118 ÷ 217
    34118 ÷ 131072     		y = 0.260299682617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478256225585938 × 2 - 1) × π
    -0.043487548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13662016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260299682617188 × 2 - 1) × π
    0.479400634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50608151226292
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13662016} λ = -0.13662016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50608151226292))-π/2
    2×atan(4.50902756280756)-π/2
    2×1.3525513967813-π/2
    2.7051027935626-1.57079632675     		φ = 1.13430647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13662016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.827759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13430647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.990973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62686 KachelY 34118 -0.13662016 1.13430647 -7.827759 64.990973
    Oben rechts KachelX + 1 62687 KachelY 34118 -0.13657223 1.13430647 -7.825012 64.990973
    Unten links KachelX 62686 KachelY + 1 34119 -0.13662016 1.13428620 -7.827759 64.989812
    Unten rechts KachelX + 1 62687 KachelY + 1 34119 -0.13657223 1.13428620 -7.825012 64.989812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13430647-1.13428620) × R
    2.02700000000444e-05 × 6371000     		dl = 129.140170000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13430647-1.13428620) × R
    2.02700000000444e-05 × 6371000     		dr = 129.140170000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13662016--0.13657223) × cos(1.13430647) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.422761039664805 × 6371000     		do = 129.09516927696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13662016--0.13657223) × cos(1.13428620) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.422779409086974 × 6371000     		du = 129.100778601003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13430647)-sin(1.13428620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422761039664805-0.422779409086974)×R²
    abs(-0.13657223--0.13662016)×1.8369422168929e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.8369422168929e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.8369422168929e-05×40589641000000     		ar = 16671.7343017871m²