Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62686 / 27502
↖ ↑ ↗
← N 71.651563°
W  7.827759°		 ← 96.13 m → N 71.651563°
W  7.825012°		 →
↑
96.20 m
↓
↑
96.20 m
↓
N 71.650697°
W  7.827759°		 ← 96.13 m →
9 248 m²		 N 71.650697°
W  7.825012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478260040283203 y=0.209827423095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478260040283203 × 217)
    floor (0.478260040283203 × 131072)
    floor (62686.5)     		tx = 62686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209827423095703 × 217)
    floor (0.209827423095703 × 131072)
    floor (27502.5)     		ty = 27502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62686 / 27502 ti = "17/62686/27502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62686/27502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62686 ÷ 217
    62686 ÷ 131072     		x = 0.478256225585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27502 ÷ 217
    27502 ÷ 131072     		y = 0.209823608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478256225585938 × 2 - 1) × π
    -0.043487548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13662016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209823608398438 × 2 - 1) × π
    0.580352783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.82323204014922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13662016} λ = -0.13662016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82323204014922))-π/2
    2×atan(6.19183841482059)-π/2
    2×1.41067600105321-π/2
    2.82135200210641-1.57079632675     		φ = 1.25055568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13662016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.827759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25055568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.651563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62686 KachelY 27502 -0.13662016 1.25055568 -7.827759 71.651563
    Oben rechts KachelX + 1 62687 KachelY 27502 -0.13657223 1.25055568 -7.825012 71.651563
    Unten links KachelX 62686 KachelY + 1 27503 -0.13662016 1.25054058 -7.827759 71.650697
    Unten rechts KachelX + 1 62687 KachelY + 1 27503 -0.13657223 1.25054058 -7.825012 71.650697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25055568-1.25054058) × R
    1.50999999999346e-05 × 6371000     		dl = 96.2020999995834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25055568-1.25054058) × R
    1.50999999999346e-05 × 6371000     		dr = 96.2020999995834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13662016--0.13657223) × cos(1.25055568) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.314794981966464 × 6371000     		do = 96.126434727096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13662016--0.13657223) × cos(1.25054058) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.314809314241912 × 6371000     		du = 96.1308112598212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25055568)-sin(1.25054058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314794981966464-0.314809314241912)×R²
    abs(-0.13657223--0.13662016)×1.43322754477815e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.43322754477815e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.43322754477815e-05×40589641000000     		ar = 9247.77540222954m²