Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62685 / 39334
↖ ↑ ↗
← N 58.208344°
W  7.830505°		 ← 160.91 m → N 58.208344°
W  7.827759°		 →
↑
160.93 m
↓
↑
160.93 m
↓
N 58.206897°
W  7.830505°		 ← 160.91 m →
25 896 m²		 N 58.206897°
W  7.827759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478252410888672 y=0.300098419189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478252410888672 × 217)
    floor (0.478252410888672 × 131072)
    floor (62685.5)     		tx = 62685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300098419189453 × 217)
    floor (0.300098419189453 × 131072)
    floor (39334.5)     		ty = 39334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62685 / 39334 ti = "17/62685/39334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62685/39334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62685 ÷ 217
    62685 ÷ 131072     		x = 0.478248596191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39334 ÷ 217
    39334 ÷ 131072     		y = 0.300094604492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478248596191406 × 2 - 1) × π
    -0.0435028076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13666810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300094604492188 × 2 - 1) × π
    0.399810791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25604264384471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13666810} λ = -0.13666810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25604264384471))-π/2
    2×atan(3.51149770779107)-π/2
    2×1.29336179161088-π/2
    2.58672358322176-1.57079632675     		φ = 1.01592726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13666810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.830505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01592726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.208344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62685 KachelY 39334 -0.13666810 1.01592726 -7.830505 58.208344
    Oben rechts KachelX + 1 62686 KachelY 39334 -0.13662016 1.01592726 -7.827759 58.208344
    Unten links KachelX 62685 KachelY + 1 39335 -0.13666810 1.01590200 -7.830505 58.206897
    Unten rechts KachelX + 1 62686 KachelY + 1 39335 -0.13662016 1.01590200 -7.827759 58.206897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01592726-1.01590200) × R
    2.52599999999159e-05 × 6371000     		dl = 160.931459999464m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01592726-1.01590200) × R
    2.52599999999159e-05 × 6371000     		dr = 160.931459999464m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13666810--0.13662016) × cos(1.01592726) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.526832015498129 × 6371000     		do = 160.908058189195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13666810--0.13662016) × cos(1.01590200) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.526853485557784 × 6371000     		du = 160.914615698053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01592726)-sin(1.01590200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526832015498129-0.526853485557784)×R²
    abs(-0.13662016--0.13666810)×2.14700596555817e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14700596555817e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14700596555817e-05×40589641000000     		ar = 25895.6963860112m²