Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62685 / 33633
↖ ↑ ↗
← N 65.548230°
W  7.830505°		 ← 126.42 m → N 65.548230°
W  7.827759°		 →
↑
126.40 m
↓
↑
126.40 m
↓
N 65.547093°
W  7.830505°		 ← 126.43 m →
15 980 m²		 N 65.547093°
W  7.827759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478252410888672 y=0.256603240966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478252410888672 × 217)
    floor (0.478252410888672 × 131072)
    floor (62685.5)     		tx = 62685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256603240966797 × 217)
    floor (0.256603240966797 × 131072)
    floor (33633.5)     		ty = 33633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62685 / 33633 ti = "17/62685/33633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62685/33633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62685 ÷ 217
    62685 ÷ 131072     		x = 0.478248596191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33633 ÷ 217
    33633 ÷ 131072     		y = 0.256599426269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478248596191406 × 2 - 1) × π
    -0.0435028076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13666810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256599426269531 × 2 - 1) × π
    0.486801147460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.52933090857865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13666810} λ = -0.13666810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52933090857865))-π/2
    2×atan(4.61508787331558)-π/2
    2×1.35741437806586-π/2
    2.71482875613171-1.57079632675     		φ = 1.14403243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13666810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.830505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14403243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.548230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62685 KachelY 33633 -0.13666810 1.14403243 -7.830505 65.548230
    Oben rechts KachelX + 1 62686 KachelY 33633 -0.13662016 1.14403243 -7.827759 65.548230
    Unten links KachelX 62685 KachelY + 1 33634 -0.13666810 1.14401259 -7.830505 65.547093
    Unten rechts KachelX + 1 62686 KachelY + 1 33634 -0.13662016 1.14401259 -7.827759 65.547093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14403243-1.14401259) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dl = 126.400639999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14403243-1.14401259) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dr = 126.400639999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13666810--0.13662016) × cos(1.14403243) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.413927117777967 × 6371000     		do = 126.423996253393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13666810--0.13662016) × cos(1.14401259) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.413945178247391 × 6371000     		du = 126.429512385632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14403243)-sin(1.14401259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413927117777967-0.413945178247391)×R²
    abs(-0.13662016--0.13666810)×1.8060469423764e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.8060469423764e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.8060469423764e-05×40589641000000     		ar = 15980.4226596318m²