Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62684 / 38429
↖ ↑ ↗
← N 59.493909°
W  7.833252°		 ← 155.04 m → N 59.493909°
W  7.830505°		 →
↑
155.07 m
↓
↑
155.07 m
↓
N 59.492515°
W  7.833252°		 ← 155.05 m →
24 043 m²		 N 59.492515°
W  7.830505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478244781494141 y=0.293193817138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478244781494141 × 217)
    floor (0.478244781494141 × 131072)
    floor (62684.5)     		tx = 62684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293193817138672 × 217)
    floor (0.293193817138672 × 131072)
    floor (38429.5)     		ty = 38429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62684 / 38429 ti = "17/62684/38429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62684/38429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62684 ÷ 217
    62684 ÷ 131072     		x = 0.478240966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38429 ÷ 217
    38429 ÷ 131072     		y = 0.293190002441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478240966796875 × 2 - 1) × π
    -0.04351806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13671604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293190002441406 × 2 - 1) × π
    0.413619995117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.29942553800086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13671604} λ = -0.13671604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29942553800086))-π/2
    2×atan(3.66718940145025)-π/2
    2×1.30458046217365-π/2
    2.6091609243473-1.57079632675     		φ = 1.03836460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13671604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.833252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03836460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.493909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62684 KachelY 38429 -0.13671604 1.03836460 -7.833252 59.493909
    Oben rechts KachelX + 1 62685 KachelY 38429 -0.13666810 1.03836460 -7.830505 59.493909
    Unten links KachelX 62684 KachelY + 1 38430 -0.13671604 1.03834026 -7.833252 59.492515
    Unten rechts KachelX + 1 62685 KachelY + 1 38430 -0.13666810 1.03834026 -7.830505 59.492515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03836460-1.03834026) × R
    2.43399999999561e-05 × 6371000     		dl = 155.07013999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03836460-1.03834026) × R
    2.43399999999561e-05 × 6371000     		dr = 155.07013999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13671604--0.13666810) × cos(1.03836460) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.507629955526048 × 6371000     		do = 155.043254812788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13671604--0.13666810) × cos(1.03834026) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.507650926116087 × 6371000     		du = 155.049659770769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03836460)-sin(1.03834026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507629955526048-0.507650926116087)×R²
    abs(-0.13666810--0.13671604)×2.09705900392487e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09705900392487e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09705900392487e-05×40589641000000     		ar = 24043.075839855m²