Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62682 / 76175
↖ ↑ ↗
← S 28.030774°
W  7.838745°		 ← 269.60 m → S 28.030774°
W  7.835998°		 →
↑
269.56 m
↓
↑
269.56 m
↓
S 28.033198°
W  7.838745°		 ← 269.59 m →
72 671 m²		 S 28.033198°
W  7.835998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478229522705078 y=0.581172943115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478229522705078 × 217)
    floor (0.478229522705078 × 131072)
    floor (62682.5)     		tx = 62682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581172943115234 × 217)
    floor (0.581172943115234 × 131072)
    floor (76175.5)     		ty = 76175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62682 / 76175 ti = "17/62682/76175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62682/76175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62682 ÷ 217
    62682 ÷ 131072     		x = 0.478225708007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76175 ÷ 217
    76175 ÷ 131072     		y = 0.581169128417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478225708007812 × 2 - 1) × π
    -0.043548583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13681191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581169128417969 × 2 - 1) × π
    -0.162338256835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.510000675057777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13681191} λ = -0.13681191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.510000675057777))-π/2
    2×atan(0.600495173443192)-π/2
    2×0.540783518851408-π/2
    1.08156703770282-1.57079632675     		φ = -0.48922929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13681191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.838745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48922929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.030774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62682 KachelY 76175 -0.13681191 -0.48922929 -7.838745 -28.030774
    Oben rechts KachelX + 1 62683 KachelY 76175 -0.13676397 -0.48922929 -7.835998 -28.030774
    Unten links KachelX 62682 KachelY + 1 76176 -0.13681191 -0.48927160 -7.838745 -28.033198
    Unten rechts KachelX + 1 62683 KachelY + 1 76176 -0.13676397 -0.48927160 -7.835998 -28.033198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48922929--0.48927160) × R
    4.23099999999899e-05 × 6371000     		dl = 269.557009999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48922929--0.48927160) × R
    4.23099999999899e-05 × 6371000     		dr = 269.557009999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13681191--0.13676397) × cos(-0.48922929) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.882695312602329 × 6371000     		do = 269.597869046077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13681191--0.13676397) × cos(-0.48927160) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.882675428408608 × 6371000     		du = 269.591795901495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48922929)-sin(-0.48927160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882695312602329-0.882675428408608)×R²
    abs(-0.13676397--0.13681191)×1.98841937211203e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.98841937211203e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.98841937211203e-05×40589641000000     		ar = 72671.1769639273m²