Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62682 / 39315
↖ ↑ ↗
← N 58.235826°
W  7.838745°		 ← 160.78 m → N 58.235826°
W  7.835998°		 →
↑
160.80 m
↓
↑
160.80 m
↓
N 58.234380°
W  7.838745°		 ← 160.79 m →
25 855 m²		 N 58.234380°
W  7.835998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478229522705078 y=0.299953460693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478229522705078 × 217)
    floor (0.478229522705078 × 131072)
    floor (62682.5)     		tx = 62682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299953460693359 × 217)
    floor (0.299953460693359 × 131072)
    floor (39315.5)     		ty = 39315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62682 / 39315 ti = "17/62682/39315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62682/39315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62682 ÷ 217
    62682 ÷ 131072     		x = 0.478225708007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39315 ÷ 217
    39315 ÷ 131072     		y = 0.299949645996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478225708007812 × 2 - 1) × π
    -0.043548583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13681191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299949645996094 × 2 - 1) × π
    0.400100708007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.25695344493749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13681191} λ = -0.13681191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25695344493749))-π/2
    2×atan(3.51469744067954)-π/2
    2×1.29360161834749-π/2
    2.58720323669499-1.57079632675     		φ = 1.01640691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13681191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.838745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01640691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.235826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62682 KachelY 39315 -0.13681191 1.01640691 -7.838745 58.235826
    Oben rechts KachelX + 1 62683 KachelY 39315 -0.13676397 1.01640691 -7.835998 58.235826
    Unten links KachelX 62682 KachelY + 1 39316 -0.13681191 1.01638167 -7.838745 58.234380
    Unten rechts KachelX + 1 62683 KachelY + 1 39316 -0.13676397 1.01638167 -7.835998 58.234380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01640691-1.01638167) × R
    2.52400000000375e-05 × 6371000     		dl = 160.804040000239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01640691-1.01638167) × R
    2.52400000000375e-05 × 6371000     		dr = 160.804040000239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13681191--0.13676397) × cos(1.01640691) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.526424267075357 × 6371000     		do = 160.783521325436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13681191--0.13676397) × cos(1.01638167) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.526445726511573 × 6371000     		du = 160.790075589622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01640691)-sin(1.01638167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526424267075357-0.526445726511573)×R²
    abs(-0.13676397--0.13681191)×2.14594362162313e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14594362162313e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14594362162313e-05×40589641000000     		ar = 25855.166772088m²