Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62682 / 34794
↖ ↑ ↗
← N 64.194423°
W  7.838745°		 ← 132.96 m → N 64.194423°
W  7.835998°		 →
↑
132.96 m
↓
↑
132.96 m
↓
N 64.193228°
W  7.838745°		 ← 132.96 m →
17 679 m²		 N 64.193228°
W  7.835998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478229522705078 y=0.265460968017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478229522705078 × 217)
    floor (0.478229522705078 × 131072)
    floor (62682.5)     		tx = 62682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265460968017578 × 217)
    floor (0.265460968017578 × 131072)
    floor (34794.5)     		ty = 34794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62682 / 34794 ti = "17/62682/34794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62682/34794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62682 ÷ 217
    62682 ÷ 131072     		x = 0.478225708007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34794 ÷ 217
    34794 ÷ 131072     		y = 0.265457153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478225708007812 × 2 - 1) × π
    -0.043548583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13681191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265457153320312 × 2 - 1) × π
    0.469085693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.47367616811977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13681191} λ = -0.13681191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47367616811977))-π/2
    2×atan(4.36525308492181)-π/2
    2×1.34560018858605-π/2
    2.6912003771721-1.57079632675     		φ = 1.12040405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13681191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.838745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12040405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.194423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62682 KachelY 34794 -0.13681191 1.12040405 -7.838745 64.194423
    Oben rechts KachelX + 1 62683 KachelY 34794 -0.13676397 1.12040405 -7.835998 64.194423
    Unten links KachelX 62682 KachelY + 1 34795 -0.13681191 1.12038318 -7.838745 64.193228
    Unten rechts KachelX + 1 62683 KachelY + 1 34795 -0.13676397 1.12038318 -7.835998 64.193228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12040405-1.12038318) × R
    2.08700000001727e-05 × 6371000     		dl = 132.9627700011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12040405-1.12038318) × R
    2.08700000001727e-05 × 6371000     		dr = 132.9627700011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13681191--0.13676397) × cos(1.12040405) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.435318725138972 × 6371000     		do = 132.957543761417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13681191--0.13676397) × cos(1.12038318) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.435337513812765 × 6371000     		du = 132.963282306014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12040405)-sin(1.12038318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435318725138972-0.435337513812765)×R²
    abs(-0.13676397--0.13681191)×1.87886737929577e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.87886737929577e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.87886737929577e-05×40589641000000     		ar = 17678.7848182148m²