Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62681 / 34151
↖ ↑ ↗
← N 64.952628°
W  7.841492°		 ← 129.31 m → N 64.952628°
W  7.838745°		 →
↑
129.27 m
↓
↑
129.27 m
↓
N 64.951465°
W  7.841492°		 ← 129.31 m →
16 716 m²		 N 64.951465°
W  7.838745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478221893310547 y=0.260555267333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478221893310547 × 217)
    floor (0.478221893310547 × 131072)
    floor (62681.5)     		tx = 62681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260555267333984 × 217)
    floor (0.260555267333984 × 131072)
    floor (34151.5)     		ty = 34151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62681 / 34151 ti = "17/62681/34151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62681/34151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62681 ÷ 217
    62681 ÷ 131072     		x = 0.478218078613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34151 ÷ 217
    34151 ÷ 131072     		y = 0.260551452636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478218078613281 × 2 - 1) × π
    -0.0435638427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13685985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260551452636719 × 2 - 1) × π
    0.478897094726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.50449959457546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13685985} λ = -0.13685985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50449959457546))-π/2
    2×atan(4.50190029121751)-π/2
    2×1.35221677041814-π/2
    2.70443354083627-1.57079632675     		φ = 1.13363721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13685985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.841492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13363721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.952628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62681 KachelY 34151 -0.13685985 1.13363721 -7.841492 64.952628
    Oben rechts KachelX + 1 62682 KachelY 34151 -0.13681191 1.13363721 -7.838745 64.952628
    Unten links KachelX 62681 KachelY + 1 34152 -0.13685985 1.13361692 -7.841492 64.951465
    Unten rechts KachelX + 1 62682 KachelY + 1 34152 -0.13681191 1.13361692 -7.838745 64.951465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13363721-1.13361692) × R
    2.02900000001449e-05 × 6371000     		dl = 129.267590000923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13363721-1.13361692) × R
    2.02900000001449e-05 × 6371000     		dr = 129.267590000923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13685985--0.13681191) × cos(1.13363721) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.423367455922407 × 6371000     		do = 129.307318517009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13685985--0.13681191) × cos(1.13361692) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.423385837724193 × 6371000     		du = 129.312932792422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13363721)-sin(1.13361692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423367455922407-0.423385837724193)×R²
    abs(-0.13681191--0.13685985)×1.83818017862603e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83818017862603e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83818017862603e-05×40589641000000     		ar = 16715.6083066354m²