Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62681 / 34120
↖ ↑ ↗
← N 64.988651°
W  7.841492°		 ← 129.13 m → N 64.988651°
W  7.838745°		 →
↑
129.08 m
↓
↑
129.08 m
↓
N 64.987490°
W  7.841492°		 ← 129.14 m →
16 668 m²		 N 64.987490°
W  7.838745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478221893310547 y=0.260318756103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478221893310547 × 217)
    floor (0.478221893310547 × 131072)
    floor (62681.5)     		tx = 62681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260318756103516 × 217)
    floor (0.260318756103516 × 131072)
    floor (34120.5)     		ty = 34120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62681 / 34120 ti = "17/62681/34120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62681/34120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62681 ÷ 217
    62681 ÷ 131072     		x = 0.478218078613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34120 ÷ 217
    34120 ÷ 131072     		y = 0.26031494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478218078613281 × 2 - 1) × π
    -0.0435638427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13685985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26031494140625 × 2 - 1) × π
    0.4793701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50598563846368
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13685985} λ = -0.13685985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50598563846368))-π/2
    2×atan(4.50859528592658)-π/2
    2×1.35253113004722-π/2
    2.70506226009445-1.57079632675     		φ = 1.13426593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13685985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.841492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13426593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.988651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62681 KachelY 34120 -0.13685985 1.13426593 -7.841492 64.988651
    Oben rechts KachelX + 1 62682 KachelY 34120 -0.13681191 1.13426593 -7.838745 64.988651
    Unten links KachelX 62681 KachelY + 1 34121 -0.13685985 1.13424567 -7.841492 64.987490
    Unten rechts KachelX + 1 62682 KachelY + 1 34121 -0.13681191 1.13424567 -7.838745 64.987490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13426593-1.13424567) × R
    2.02599999998831e-05 × 6371000     		dl = 129.076459999256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13426593-1.13424567) × R
    2.02599999998831e-05 × 6371000     		dr = 129.076459999256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13685985--0.13681191) × cos(1.13426593) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.422797778335434 × 6371000     		do = 129.133324318446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13685985--0.13681191) × cos(1.13424567) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.422816138348023 × 6371000     		du = 129.138931938878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13426593)-sin(1.13424567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422797778335434-0.422816138348023)×R²
    abs(-0.13681191--0.13685985)×1.83600125892025e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83600125892025e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83600125892025e-05×40589641000000     		ar = 16668.4342774471m²