Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62680 / 76263
↖ ↑ ↗
← S 28.243909°
W  7.844239°		 ← 269.06 m → S 28.243909°
W  7.841492°		 →
↑
268.98 m
↓
↑
268.98 m
↓
S 28.246328°
W  7.844239°		 ← 269.06 m →
72 372 m²		 S 28.246328°
W  7.841492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478214263916016 y=0.581844329833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478214263916016 × 217)
    floor (0.478214263916016 × 131072)
    floor (62680.5)     		tx = 62680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581844329833984 × 217)
    floor (0.581844329833984 × 131072)
    floor (76263.5)     		ty = 76263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62680 / 76263 ti = "17/62680/76263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62680/76263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62680 ÷ 217
    62680 ÷ 131072     		x = 0.47821044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76263 ÷ 217
    76263 ÷ 131072     		y = 0.581840515136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47821044921875 × 2 - 1) × π
    -0.0435791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13690779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581840515136719 × 2 - 1) × π
    -0.163681030273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.514219122224342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13690779} λ = -0.13690779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.514219122224342))-π/2
    2×atan(0.597967351769942)-π/2
    2×0.538923565609416-π/2
    1.07784713121883-1.57079632675     		φ = -0.49294920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13690779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.844239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49294920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.243909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62680 KachelY 76263 -0.13690779 -0.49294920 -7.844239 -28.243909
    Oben rechts KachelX + 1 62681 KachelY 76263 -0.13685985 -0.49294920 -7.841492 -28.243909
    Unten links KachelX 62680 KachelY + 1 76264 -0.13690779 -0.49299142 -7.844239 -28.246328
    Unten rechts KachelX + 1 62681 KachelY + 1 76264 -0.13685985 -0.49299142 -7.841492 -28.246328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49294920--0.49299142) × R
    4.22200000000372e-05 × 6371000     		dl = 268.983620000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49294920--0.49299142) × R
    4.22200000000372e-05 × 6371000     		dr = 268.983620000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13690779--0.13685985) × cos(-0.49294920) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.880941053586723 × 6371000     		do = 269.062073188084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13690779--0.13685985) × cos(-0.49299142) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.880921073199276 × 6371000     		du = 269.055970663462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49294920)-sin(-0.49299142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880941053586723-0.880921073199276)×R²
    abs(-0.13685985--0.13690779)×1.99803874465498e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.99803874465498e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.99803874465498e-05×40589641000000     		ar = 72372.4697220349m²