Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6268 / 6340
↖ ↑ ↗
← S 69.718107°
E 95.449219°		 ← 1 693.85 m → S 69.718107°
E 95.493164°		 →
↑
1 693.22 m
↓
↑
1 693.22 m
↓
S 69.733334°
E 95.449219°		 ← 1 692.63 m →
2 867 031 m²		 S 69.733334°
E 95.493164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76519775390625 y=0.77398681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76519775390625 × 213)
    floor (0.76519775390625 × 8192)
    floor (6268.5)     		tx = 6268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77398681640625 × 213)
    floor (0.77398681640625 × 8192)
    floor (6340.5)     		ty = 6340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6268 / 6340 ti = "13/6268/6340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6268/6340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6268 ÷ 213
    6268 ÷ 8192     		x = 0.76513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6340 ÷ 213
    6340 ÷ 8192     		y = 0.77392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76513671875 × 2 - 1) × π
    0.5302734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66590314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77392578125 × 2 - 1) × π
    -0.5478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7211264439585
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66590314} λ = 1.66590314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7211264439585))-π/2
    2×atan(0.17886455349473)-π/2
    2×0.176992908328252-π/2
    0.353985816656504-1.57079632675     		φ = -1.21681051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66590314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21681051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.718107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6268 KachelY 6340 1.66590314 -1.21681051 95.449219 -69.718107
    Oben rechts KachelX + 1 6269 KachelY 6340 1.66667013 -1.21681051 95.493164 -69.718107
    Unten links KachelX 6268 KachelY + 1 6341 1.66590314 -1.21707628 95.449219 -69.733334
    Unten rechts KachelX + 1 6269 KachelY + 1 6341 1.66667013 -1.21707628 95.493164 -69.733334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21681051--1.21707628) × R
    0.000265769999999943 × 6371000     		dl = 1693.22066999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21681051--1.21707628) × R
    0.000265769999999943 × 6371000     		dr = 1693.22066999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66590314-1.66667013) × cos(-1.21681051) × R
    0.000766990000000023 × 0.346639241317444 × 6371000     		do = 1693.85032674843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66590314-1.66667013) × cos(-1.21707628) × R
    0.000766990000000023 × 0.346389937209692 × 6371000     		du = 1692.63210389873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21681051)-sin(-1.21707628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346639241317444-0.346389937209692)×R²
    abs(1.66667013-1.66590314)×0.000249304107751813×R²
    0.000766990000000023×0.000249304107751813×6371000²
    0.000766990000000023×0.000249304107751813×40589641000000     		ar = 2867031.04195862m²