Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62672 / 39600
↖ ↑ ↗
← N 57.821355°
W  7.866211°		 ← 162.66 m → N 57.821355°
W  7.863464°		 →
↑
162.65 m
↓
↑
162.65 m
↓
N 57.819892°
W  7.866211°		 ← 162.66 m →
26 457 m²		 N 57.819892°
W  7.863464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478153228759766 y=0.302127838134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478153228759766 × 217)
    floor (0.478153228759766 × 131072)
    floor (62672.5)     		tx = 62672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302127838134766 × 217)
    floor (0.302127838134766 × 131072)
    floor (39600.5)     		ty = 39600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62672 / 39600 ti = "17/62672/39600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62672/39600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62672 ÷ 217
    62672 ÷ 131072     		x = 0.4781494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39600 ÷ 217
    39600 ÷ 131072     		y = 0.3021240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4781494140625 × 2 - 1) × π
    -0.043701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13729128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3021240234375 × 2 - 1) × π
    0.395751953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24329142854578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13729128} λ = -0.13729128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24329142854578))-π/2
    2×atan(3.46700610831468)-π/2
    2×1.28998467505441-π/2
    2.57996935010882-1.57079632675     		φ = 1.00917302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13729128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.866211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00917302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.821355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62672 KachelY 39600 -0.13729128 1.00917302 -7.866211 57.821355
    Oben rechts KachelX + 1 62673 KachelY 39600 -0.13724334 1.00917302 -7.863464 57.821355
    Unten links KachelX 62672 KachelY + 1 39601 -0.13729128 1.00914749 -7.866211 57.819892
    Unten rechts KachelX + 1 62673 KachelY + 1 39601 -0.13724334 1.00914749 -7.863464 57.819892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00917302-1.00914749) × R
    2.55300000000513e-05 × 6371000     		dl = 162.651630000327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00917302-1.00914749) × R
    2.55300000000513e-05 × 6371000     		dr = 162.651630000327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13729128--0.13724334) × cos(1.00917302) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.532560852424716 × 6371000     		do = 162.657792446837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13729128--0.13724334) × cos(1.00914749) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.53258246063169 × 6371000     		du = 162.664392149442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00917302)-sin(1.00914749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532560852424716-0.53258246063169)×R²
    abs(-0.13724334--0.13729128)×2.16082069740553e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16082069740553e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16082069740553e-05×40589641000000     		ar = 26457.0918013534m²