Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62670 / 39346
↖ ↑ ↗
← N 58.190976°
W  7.871704°		 ← 160.95 m → N 58.190976°
W  7.868958°		 →
↑
161 m
↓
↑
161 m
↓
N 58.189528°
W  7.871704°		 ← 160.96 m →
25 913 m²		 N 58.189528°
W  7.868958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478137969970703 y=0.300189971923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478137969970703 × 217)
    floor (0.478137969970703 × 131072)
    floor (62670.5)     		tx = 62670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300189971923828 × 217)
    floor (0.300189971923828 × 131072)
    floor (39346.5)     		ty = 39346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62670 / 39346 ti = "17/62670/39346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62670/39346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62670 ÷ 217
    62670 ÷ 131072     		x = 0.478134155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39346 ÷ 217
    39346 ÷ 131072     		y = 0.300186157226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478134155273438 × 2 - 1) × π
    -0.043731689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13738715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300186157226562 × 2 - 1) × π
    0.399627685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.25546740104927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13738715} λ = -0.13738715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25546740104927))-π/2
    2×atan(3.50947832490687)-π/2
    2×1.29321022640163-π/2
    2.58642045280326-1.57079632675     		φ = 1.01562413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13738715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.871704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01562413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.190976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62670 KachelY 39346 -0.13738715 1.01562413 -7.871704 58.190976
    Oben rechts KachelX + 1 62671 KachelY 39346 -0.13733922 1.01562413 -7.868958 58.190976
    Unten links KachelX 62670 KachelY + 1 39347 -0.13738715 1.01559886 -7.871704 58.189528
    Unten rechts KachelX + 1 62671 KachelY + 1 39347 -0.13733922 1.01559886 -7.868958 58.189528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01562413-1.01559886) × R
    2.52699999998551e-05 × 6371000     		dl = 160.995169999077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01562413-1.01559886) × R
    2.52699999998551e-05 × 6371000     		dr = 160.995169999077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13738715--0.13733922) × cos(1.01562413) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.527089642521982 × 6371000     		do = 160.953163232492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13738715--0.13733922) × cos(1.01559886) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.527111117044546 × 6371000     		du = 160.959720736296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01562413)-sin(1.01559886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527089642521982-0.527111117044546)×R²
    abs(-0.13733922--0.13738715)×2.14745225642909e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14745225642909e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14745225642909e-05×40589641000000     		ar = 25913.2097411931m²