Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6267 / 6053
↖ ↑ ↗
← S 64.867608°
E 95.405274°		 ← 2 075.35 m → S 64.867608°
E 95.449219°		 →
↑
2 074.65 m
↓
↑
2 074.65 m
↓
S 64.886265°
E 95.405274°		 ← 2 073.91 m →
4 304 133 m²		 S 64.886265°
E 95.449219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76507568359375 y=0.73895263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76507568359375 × 213)
    floor (0.76507568359375 × 8192)
    floor (6267.5)     		tx = 6267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73895263671875 × 213)
    floor (0.73895263671875 × 8192)
    floor (6053.5)     		ty = 6053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6267 / 6053 ti = "13/6267/6053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6267/6053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6267 ÷ 213
    6267 ÷ 8192     		x = 0.7650146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6053 ÷ 213
    6053 ÷ 8192     		y = 0.7388916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7650146484375 × 2 - 1) × π
    0.530029296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66513615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7388916015625 × 2 - 1) × π
    -0.477783203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5010002009032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66513615} λ = 1.66513615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5010002009032))-π/2
    2×atan(0.222907096733429)-π/2
    2×0.219321496262899-π/2
    0.438642992525797-1.57079632675     		φ = -1.13215333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66513615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.405274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13215333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.867608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6267 KachelY 6053 1.66513615 -1.13215333 95.405274 -64.867608
    Oben rechts KachelX + 1 6268 KachelY 6053 1.66590314 -1.13215333 95.449219 -64.867608
    Unten links KachelX 6267 KachelY + 1 6054 1.66513615 -1.13247897 95.405274 -64.886265
    Unten rechts KachelX + 1 6268 KachelY + 1 6054 1.66590314 -1.13247897 95.449219 -64.886265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13215333--1.13247897) × R
    0.000325640000000016 × 6371000     		dl = 2074.6524400001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13215333--1.13247897) × R
    0.000325640000000016 × 6371000     		dr = 2074.6524400001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66513615-1.66590314) × cos(-1.13215333) × R
    0.000766990000000023 × 0.424711322361303 × 6371000     		do = 2075.34902690559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66513615-1.66590314) × cos(-1.13247897) × R
    0.000766990000000023 × 0.424416488567418 × 6371000     		du = 2073.90832355011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13215333)-sin(-1.13247897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424711322361303-0.424416488567418)×R²
    abs(1.66590314-1.66513615)×0.000294833793885174×R²
    0.000766990000000023×0.000294833793885174×6371000²
    0.000766990000000023×0.000294833793885174×40589641000000     		ar = 4304133.48118814m²