Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 6267 / 14420
↖ ↑ ↗
← N 21.084500°
W111.148681°		 ← 1 139.79 m → N 21.084500°
W111.137696°		 →
↑
1 139.90 m
↓
↑
1 139.90 m
↓
N 21.074249°
W111.148681°		 ← 1 139.87 m →
1 299 293 m²		 N 21.074249°
W111.137696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.191268920898438 y=0.440078735351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.191268920898438 × 215)
    floor (0.191268920898438 × 32768)
    floor (6267.5)     		tx = 6267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440078735351562 × 215)
    floor (0.440078735351562 × 32768)
    floor (14420.5)     		ty = 14420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 6267 / 14420 ti = "15/6267/14420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/6267/14420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6267 ÷ 215
    6267 ÷ 32768     		x = 0.191253662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14420 ÷ 215
    14420 ÷ 32768     		y = 0.4400634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.191253662109375 × 2 - 1) × π
    -0.61749267578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.93991045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4400634765625 × 2 - 1) × π
    0.119873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.376592283415161
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.93991045} λ = -1.93991045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.376592283415161))-π/2
    2×atan(1.45731001876449)-π/2
    2×0.969395137189625-π/2
    1.93879027437925-1.57079632675     		φ = 0.36799395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.93991045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.148681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36799395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.084500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6267 KachelY 14420 -1.93991045 0.36799395 -111.148681 21.084500
    Oben rechts KachelX + 1 6268 KachelY 14420 -1.93971871 0.36799395 -111.137696 21.084500
    Unten links KachelX 6267 KachelY + 1 14421 -1.93991045 0.36781503 -111.148681 21.074249
    Unten rechts KachelX + 1 6268 KachelY + 1 14421 -1.93971871 0.36781503 -111.137696 21.074249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36799395-0.36781503) × R
    0.000178920000000027 × 6371000     		dl = 1139.89932000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36799395-0.36781503) × R
    0.000178920000000027 × 6371000     		dr = 1139.89932000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.93991045--1.93971871) × cos(0.36799395) × R
    0.000191739999999996 × 0.933050887804499 × 6371000     		do = 1139.79214211724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.93991045--1.93971871) × cos(0.36781503) × R
    0.000191739999999996 × 0.93311523833947 × 6371000     		du = 1139.87075115674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36799395)-sin(0.36781503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933050887804499-0.93311523833947)×R²
    abs(-1.93971871--1.93991045)×6.43505349703366e-05×R²
    0.000191739999999996×6.43505349703366e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.43505349703366e-05×40589641000000     		ar = 1299293.09440227m²