Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62669 / 38717
↖ ↑ ↗
← N 59.089972°
W  7.874451°		 ← 156.89 m → N 59.089972°
W  7.871704°		 →
↑
156.92 m
↓
↑
156.92 m
↓
N 59.088560°
W  7.874451°		 ← 156.90 m →
24 620 m²		 N 59.088560°
W  7.871704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478130340576172 y=0.295391082763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478130340576172 × 217)
    floor (0.478130340576172 × 131072)
    floor (62669.5)     		tx = 62669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295391082763672 × 217)
    floor (0.295391082763672 × 131072)
    floor (38717.5)     		ty = 38717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62669 / 38717 ti = "17/62669/38717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62669/38717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62669 ÷ 217
    62669 ÷ 131072     		x = 0.478126525878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38717 ÷ 217
    38717 ÷ 131072     		y = 0.295387268066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478126525878906 × 2 - 1) × π
    -0.0437469482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13743509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295387268066406 × 2 - 1) × π
    0.409225463867188 × 3.1415926535     		Φ = 1.28561971091029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13743509} λ = -0.13743509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28561971091029))-π/2
    2×atan(3.61690870062245)-π/2
    2×1.30105544233668-π/2
    2.60211088467336-1.57079632675     		φ = 1.03131456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13743509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.874451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03131456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.089972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62669 KachelY 38717 -0.13743509 1.03131456 -7.874451 59.089972
    Oben rechts KachelX + 1 62670 KachelY 38717 -0.13738715 1.03131456 -7.871704 59.089972
    Unten links KachelX 62669 KachelY + 1 38718 -0.13743509 1.03128993 -7.874451 59.088560
    Unten rechts KachelX + 1 62670 KachelY + 1 38718 -0.13738715 1.03128993 -7.871704 59.088560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03131456-1.03128993) × R
    2.462999999997e-05 × 6371000     		dl = 156.917729999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03131456-1.03128993) × R
    2.462999999997e-05 × 6371000     		dr = 156.917729999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13743509--0.13738715) × cos(1.03131456) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.513691429514388 × 6371000     		do = 156.894584991078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13743509--0.13738715) × cos(1.03128993) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.513712561283033 × 6371000     		du = 156.901039177154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03131456)-sin(1.03128993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.513691429514388-0.513712561283033)×R²
    abs(-0.13738715--0.13743509)×2.11317686455992e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.11317686455992e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.11317686455992e-05×40589641000000     		ar = 24620.0485155641m²