Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62668 / 38708
↖ ↑ ↗
← N 59.102667°
W  7.877197°		 ← 156.84 m → N 59.102667°
W  7.874451°		 →
↑
156.85 m
↓
↑
156.85 m
↓
N 59.101257°
W  7.877197°		 ← 156.84 m →
24 601 m²		 N 59.101257°
W  7.874451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478122711181641 y=0.295322418212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478122711181641 × 217)
    floor (0.478122711181641 × 131072)
    floor (62668.5)     		tx = 62668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295322418212891 × 217)
    floor (0.295322418212891 × 131072)
    floor (38708.5)     		ty = 38708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62668 / 38708 ti = "17/62668/38708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62668/38708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62668 ÷ 217
    62668 ÷ 131072     		x = 0.478118896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38708 ÷ 217
    38708 ÷ 131072     		y = 0.295318603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478118896484375 × 2 - 1) × π
    -0.04376220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13748303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295318603515625 × 2 - 1) × π
    0.40936279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.28605114300687
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13748303} λ = -0.13748303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28605114300687))-π/2
    2×atan(3.61846948778893)-π/2
    2×1.30116623331504-π/2
    2.60233246663007-1.57079632675     		φ = 1.03153614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13748303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.877197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03153614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.102667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62668 KachelY 38708 -0.13748303 1.03153614 -7.877197 59.102667
    Oben rechts KachelX + 1 62669 KachelY 38708 -0.13743509 1.03153614 -7.874451 59.102667
    Unten links KachelX 62668 KachelY + 1 38709 -0.13748303 1.03151152 -7.877197 59.101257
    Unten rechts KachelX + 1 62669 KachelY + 1 38709 -0.13743509 1.03151152 -7.874451 59.101257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03153614-1.03151152) × R
    2.46200000000307e-05 × 6371000     		dl = 156.854020000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03153614-1.03151152) × R
    2.46200000000307e-05 × 6371000     		dr = 156.854020000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13748303--0.13743509) × cos(1.03153614) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.513501306803023 × 6371000     		do = 156.836516621268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13748303--0.13743509) × cos(1.03151152) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.513522432793925 × 6371000     		du = 156.842969042673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03153614)-sin(1.03151152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.513501306803023-0.513522432793925)×R²
    abs(-0.13743509--0.13748303)×2.11259909017603e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.11259909017603e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.11259909017603e-05×40589641000000     		ar = 24600.9441602622m²