Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62668 / 31708
↖ ↑ ↗
← N 67.646855°
W  7.877197°		 ← 116.16 m → N 67.646855°
W  7.874451°		 →
↑
116.14 m
↓
↑
116.14 m
↓
N 67.645811°
W  7.877197°		 ← 116.16 m →
13 491 m²		 N 67.645811°
W  7.874451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478122711181641 y=0.241916656494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478122711181641 × 217)
    floor (0.478122711181641 × 131072)
    floor (62668.5)     		tx = 62668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241916656494141 × 217)
    floor (0.241916656494141 × 131072)
    floor (31708.5)     		ty = 31708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62668 / 31708 ti = "17/62668/31708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62668/31708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62668 ÷ 217
    62668 ÷ 131072     		x = 0.478118896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31708 ÷ 217
    31708 ÷ 131072     		y = 0.241912841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478118896484375 × 2 - 1) × π
    -0.04376220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13748303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241912841796875 × 2 - 1) × π
    0.51617431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.62160944034726
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13748303} λ = -0.13748303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62160944034726))-π/2
    2×atan(5.06122951201556)-π/2
    2×1.37572833700459-π/2
    2.75145667400918-1.57079632675     		φ = 1.18066035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13748303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.877197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18066035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.646855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62668 KachelY 31708 -0.13748303 1.18066035 -7.877197 67.646855
    Oben rechts KachelX + 1 62669 KachelY 31708 -0.13743509 1.18066035 -7.874451 67.646855
    Unten links KachelX 62668 KachelY + 1 31709 -0.13748303 1.18064212 -7.877197 67.645811
    Unten rechts KachelX + 1 62669 KachelY + 1 31709 -0.13743509 1.18064212 -7.874451 67.645811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18066035-1.18064212) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dl = 116.143330000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18066035-1.18064212) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dr = 116.143330000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13748303--0.13743509) × cos(1.18066035) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.380314177777521 × 6371000     		do = 116.157739180182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13748303--0.13743509) × cos(1.18064212) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.380331037863898 × 6371000     		du = 116.16288868454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18066035)-sin(1.18064212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380314177777521-0.380331037863898)×R²
    abs(-0.13743509--0.13748303)×1.68600863762469e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.68600863762469e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.68600863762469e-05×40589641000000     		ar = 13491.2456743245m²