Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62666 / 39222
↖ ↑ ↗
← N 58.370037°
W  7.882690°		 ← 160.14 m → N 58.370037°
W  7.879944°		 →
↑
160.17 m
↓
↑
160.17 m
↓
N 58.368597°
W  7.882690°		 ← 160.15 m →
25 650 m²		 N 58.368597°
W  7.879944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478107452392578 y=0.299243927001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478107452392578 × 217)
    floor (0.478107452392578 × 131072)
    floor (62666.5)     		tx = 62666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299243927001953 × 217)
    floor (0.299243927001953 × 131072)
    floor (39222.5)     		ty = 39222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62666 / 39222 ti = "17/62666/39222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62666/39222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62666 ÷ 217
    62666 ÷ 131072     		x = 0.478103637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39222 ÷ 217
    39222 ÷ 131072     		y = 0.299240112304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478103637695312 × 2 - 1) × π
    -0.043792724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13757890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299240112304688 × 2 - 1) × π
    0.401519775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.26141157660216
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13757890} λ = -0.13757890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26141157660216))-π/2
    2×atan(3.53040140378955)-π/2
    2×1.29477283053602-π/2
    2.58954566107203-1.57079632675     		φ = 1.01874933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13757890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.882690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01874933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.370037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62666 KachelY 39222 -0.13757890 1.01874933 -7.882690 58.370037
    Oben rechts KachelX + 1 62667 KachelY 39222 -0.13753097 1.01874933 -7.879944 58.370037
    Unten links KachelX 62666 KachelY + 1 39223 -0.13757890 1.01872419 -7.882690 58.368597
    Unten rechts KachelX + 1 62667 KachelY + 1 39223 -0.13753097 1.01872419 -7.879944 58.368597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01874933-1.01872419) × R
    2.51399999999791e-05 × 6371000     		dl = 160.166939999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01874933-1.01872419) × R
    2.51399999999791e-05 × 6371000     		dr = 160.166939999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13757890--0.13753097) × cos(1.01874933) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.524431247595603 × 6371000     		do = 160.141390361231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13757890--0.13753097) × cos(1.01872419) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.524452652953207 × 6371000     		du = 160.147926744682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01874933)-sin(1.01872419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524431247595603-0.524452652953207)×R²
    abs(-0.13753097--0.13757890)×2.14053576039763e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14053576039763e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14053576039763e-05×40589641000000     		ar = 25649.8799191161m²