Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62664 / 39385
↖ ↑ ↗
← N 58.134471°
W  7.888184°		 ← 161.24 m → N 58.134471°
W  7.885437°		 →
↑
161.25 m
↓
↑
161.25 m
↓
N 58.133021°
W  7.888184°		 ← 161.25 m →
26 001 m²		 N 58.133021°
W  7.885437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478092193603516 y=0.300487518310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478092193603516 × 217)
    floor (0.478092193603516 × 131072)
    floor (62664.5)     		tx = 62664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300487518310547 × 217)
    floor (0.300487518310547 × 131072)
    floor (39385.5)     		ty = 39385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62664 / 39385 ti = "17/62664/39385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62664/39385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62664 ÷ 217
    62664 ÷ 131072     		x = 0.47808837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39385 ÷ 217
    39385 ÷ 131072     		y = 0.300483703613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47808837890625 × 2 - 1) × π
    -0.0438232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13767478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300483703613281 × 2 - 1) × π
    0.399032592773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.25359786196409
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13767478} λ = -0.13767478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25359786196409))-π/2
    2×atan(3.5029233473125)-π/2
    2×1.29271712753196-π/2
    2.58543425506391-1.57079632675     		φ = 1.01463793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13767478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.888184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01463793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.134471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62664 KachelY 39385 -0.13767478 1.01463793 -7.888184 58.134471
    Oben rechts KachelX + 1 62665 KachelY 39385 -0.13762684 1.01463793 -7.885437 58.134471
    Unten links KachelX 62664 KachelY + 1 39386 -0.13767478 1.01461262 -7.888184 58.133021
    Unten rechts KachelX + 1 62665 KachelY + 1 39386 -0.13762684 1.01461262 -7.885437 58.133021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01463793-1.01461262) × R
    2.53099999998341e-05 × 6371000     		dl = 161.250009998943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01463793-1.01461262) × R
    2.53099999998341e-05 × 6371000     		dr = 161.250009998943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13767478--0.13762684) × cos(1.01463793) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.527927468380982 × 6371000     		do = 161.242637696576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13767478--0.13762684) × cos(1.01461262) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.527948963728136 × 6371000     		du = 161.249202928887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01463793)-sin(1.01461262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527927468380982-0.527948963728136)×R²
    abs(-0.13762684--0.13767478)×2.14953471547874e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14953471547874e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14953471547874e-05×40589641000000     		ar = 26000.9062640065m²