Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62664 / 28614
↖ ↑ ↗
← N 70.665426°
W  7.888184°		 ← 101.12 m → N 70.665426°
W  7.885437°		 →
↑
101.17 m
↓
↑
101.17 m
↓
N 70.664516°
W  7.888184°		 ← 101.13 m →
10 231 m²		 N 70.664516°
W  7.885437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478092193603516 y=0.218311309814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478092193603516 × 217)
    floor (0.478092193603516 × 131072)
    floor (62664.5)     		tx = 62664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218311309814453 × 217)
    floor (0.218311309814453 × 131072)
    floor (28614.5)     		ty = 28614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62664 / 28614 ti = "17/62664/28614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62664/28614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62664 ÷ 217
    62664 ÷ 131072     		x = 0.47808837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28614 ÷ 217
    28614 ÷ 131072     		y = 0.218307495117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47808837890625 × 2 - 1) × π
    -0.0438232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13767478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218307495117188 × 2 - 1) × π
    0.563385009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76992620777171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13767478} λ = -0.13767478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76992620777171))-π/2
    2×atan(5.87042015401498)-π/2
    2×1.4020703364289-π/2
    2.80414067285781-1.57079632675     		φ = 1.23334435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13767478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.888184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23334435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.665426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62664 KachelY 28614 -0.13767478 1.23334435 -7.888184 70.665426
    Oben rechts KachelX + 1 62665 KachelY 28614 -0.13762684 1.23334435 -7.885437 70.665426
    Unten links KachelX 62664 KachelY + 1 28615 -0.13767478 1.23332847 -7.888184 70.664516
    Unten rechts KachelX + 1 62665 KachelY + 1 28615 -0.13762684 1.23332847 -7.885437 70.664516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23334435-1.23332847) × R
    1.58800000000792e-05 × 6371000     		dl = 101.171480000504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23334435-1.23332847) × R
    1.58800000000792e-05 × 6371000     		dr = 101.171480000504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13767478--0.13762684) × cos(1.23334435) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.331083851406711 × 6371000     		do = 101.121530317937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13767478--0.13762684) × cos(1.23332847) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.331098835754198 × 6371000     		du = 101.126106923357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23334435)-sin(1.23332847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331083851406711-0.331098835754198)×R²
    abs(-0.13762684--0.13767478)×1.49843474868128e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.49843474868128e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.49843474868128e-05×40589641000000     		ar = 10230.8463933169m²