Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62663 / 39419
↖ ↑ ↗
← N 58.085137°
W  7.890930°		 ← 161.43 m → N 58.085137°
W  7.888184°		 →
↑
161.50 m
↓
↑
161.50 m
↓
N 58.083685°
W  7.890930°		 ← 161.44 m →
26 073 m²		 N 58.083685°
W  7.888184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478084564208984 y=0.300746917724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478084564208984 × 217)
    floor (0.478084564208984 × 131072)
    floor (62663.5)     		tx = 62663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300746917724609 × 217)
    floor (0.300746917724609 × 131072)
    floor (39419.5)     		ty = 39419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62663 / 39419 ti = "17/62663/39419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62663/39419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62663 ÷ 217
    62663 ÷ 131072     		x = 0.478080749511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39419 ÷ 217
    39419 ÷ 131072     		y = 0.300743103027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478080749511719 × 2 - 1) × π
    -0.0438385009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13772271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300743103027344 × 2 - 1) × π
    0.398513793945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.25196800737701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13772271} λ = -0.13772271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25196800737701))-π/2
    2×atan(3.4972187417283)-π/2
    2×1.29228660718257-π/2
    2.58457321436514-1.57079632675     		φ = 1.01377689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13772271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.890930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01377689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.085137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62663 KachelY 39419 -0.13772271 1.01377689 -7.890930 58.085137
    Oben rechts KachelX + 1 62664 KachelY 39419 -0.13767478 1.01377689 -7.888184 58.085137
    Unten links KachelX 62663 KachelY + 1 39420 -0.13772271 1.01375154 -7.890930 58.083685
    Unten rechts KachelX + 1 62664 KachelY + 1 39420 -0.13767478 1.01375154 -7.888184 58.083685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01377689-1.01375154) × R
    2.53500000000351e-05 × 6371000     		dl = 161.504850000223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01377689-1.01375154) × R
    2.53500000000351e-05 × 6371000     		dr = 161.504850000223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13772271--0.13767478) × cos(1.01377689) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.52865854478787 × 6371000     		do = 161.432246413275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13772271--0.13767478) × cos(1.01375154) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.52868006257459 × 6371000     		du = 161.438817128309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01377689)-sin(1.01375154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52865854478787-0.52868006257459)×R²
    abs(-0.13767478--0.13772271)×2.15177867192162e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.15177867192162e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.15177867192162e-05×40589641000000     		ar = 26072.6213447391m²