Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62663 / 39238
↖ ↑ ↗
← N 58.346983°
W  7.890930°		 ← 160.25 m → N 58.346983°
W  7.888184°		 →
↑
160.29 m
↓
↑
160.29 m
↓
N 58.345542°
W  7.890930°		 ← 160.25 m →
25 687 m²		 N 58.345542°
W  7.888184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478084564208984 y=0.299365997314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478084564208984 × 217)
    floor (0.478084564208984 × 131072)
    floor (62663.5)     		tx = 62663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299365997314453 × 217)
    floor (0.299365997314453 × 131072)
    floor (39238.5)     		ty = 39238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62663 / 39238 ti = "17/62663/39238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62663/39238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62663 ÷ 217
    62663 ÷ 131072     		x = 0.478080749511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39238 ÷ 217
    39238 ÷ 131072     		y = 0.299362182617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478080749511719 × 2 - 1) × π
    -0.0438385009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13772271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299362182617188 × 2 - 1) × π
    0.401275634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.26064458620824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13772271} λ = -0.13772271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26064458620824))-π/2
    2×atan(3.52769465798287)-π/2
    2×1.29457164799366-π/2
    2.58914329598731-1.57079632675     		φ = 1.01834697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13772271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.890930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01834697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.346983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62663 KachelY 39238 -0.13772271 1.01834697 -7.890930 58.346983
    Oben rechts KachelX + 1 62664 KachelY 39238 -0.13767478 1.01834697 -7.888184 58.346983
    Unten links KachelX 62663 KachelY + 1 39239 -0.13772271 1.01832181 -7.890930 58.345542
    Unten rechts KachelX + 1 62664 KachelY + 1 39239 -0.13767478 1.01832181 -7.888184 58.345542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01834697-1.01832181) × R
    2.51600000000796e-05 × 6371000     		dl = 160.294360000507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01834697-1.01832181) × R
    2.51600000000796e-05 × 6371000     		dr = 160.294360000507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13772271--0.13767478) × cos(1.01834697) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.52477379568298 × 6371000     		do = 160.245991540565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13772271--0.13767478) × cos(1.01832181) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.524795212758518 × 6371000     		du = 160.252531502228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01834697)-sin(1.01832181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52477379568298-0.524795212758518)×R²
    abs(-0.13767478--0.13772271)×2.14170755383769e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14170755383769e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14170755383769e-05×40589641000000     		ar = 25687.0528175202m²