Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62661 / 39420
↖ ↑ ↗
← N 58.083685°
W  7.896424°		 ← 161.47 m → N 58.083685°
W  7.893677°		 →
↑
161.44 m
↓
↑
161.44 m
↓
N 58.082233°
W  7.896424°		 ← 161.48 m →
26 069 m²		 N 58.082233°
W  7.893677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478069305419922 y=0.300754547119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478069305419922 × 217)
    floor (0.478069305419922 × 131072)
    floor (62661.5)     		tx = 62661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300754547119141 × 217)
    floor (0.300754547119141 × 131072)
    floor (39420.5)     		ty = 39420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62661 / 39420 ti = "17/62661/39420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62661/39420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62661 ÷ 217
    62661 ÷ 131072     		x = 0.478065490722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39420 ÷ 217
    39420 ÷ 131072     		y = 0.300750732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478065490722656 × 2 - 1) × π
    -0.0438690185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13781859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300750732421875 × 2 - 1) × π
    0.39849853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25192007047739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13781859} λ = -0.13781859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25192007047739))-π/2
    2×atan(3.49705109992267)-π/2
    2×1.29227393579892-π/2
    2.58454787159785-1.57079632675     		φ = 1.01375154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13781859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.896424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01375154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.083685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62661 KachelY 39420 -0.13781859 1.01375154 -7.896424 58.083685
    Oben rechts KachelX + 1 62662 KachelY 39420 -0.13777065 1.01375154 -7.893677 58.083685
    Unten links KachelX 62661 KachelY + 1 39421 -0.13781859 1.01372620 -7.896424 58.082233
    Unten rechts KachelX + 1 62662 KachelY + 1 39421 -0.13777065 1.01372620 -7.893677 58.082233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01375154-1.01372620) × R
    2.53399999998738e-05 × 6371000     		dl = 161.441139999196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01375154-1.01372620) × R
    2.53399999998738e-05 × 6371000     		dr = 161.441139999196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13781859--0.13777065) × cos(1.01375154) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.52868006257459 × 6371000     		do = 161.472499335078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13781859--0.13777065) × cos(1.01372620) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.528701571533489 × 6371000     		du = 161.479068724766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01375154)-sin(1.01372620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52868006257459-0.528701571533489)×R²
    abs(-0.13777065--0.13781859)×2.15089588995188e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15089588995188e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15089588995188e-05×40589641000000     		ar = 26068.8346574201m²