Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62661 / 39236
↖ ↑ ↗
← N 58.349866°
W  7.896424°		 ← 160.27 m → N 58.349866°
W  7.893677°		 →
↑
160.29 m
↓
↑
160.29 m
↓
N 58.348424°
W  7.896424°		 ← 160.27 m →
25 690 m²		 N 58.348424°
W  7.893677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478069305419922 y=0.299350738525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478069305419922 × 217)
    floor (0.478069305419922 × 131072)
    floor (62661.5)     		tx = 62661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299350738525391 × 217)
    floor (0.299350738525391 × 131072)
    floor (39236.5)     		ty = 39236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62661 / 39236 ti = "17/62661/39236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62661/39236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62661 ÷ 217
    62661 ÷ 131072     		x = 0.478065490722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39236 ÷ 217
    39236 ÷ 131072     		y = 0.299346923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478065490722656 × 2 - 1) × π
    -0.0438690185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13781859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299346923828125 × 2 - 1) × π
    0.40130615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.26074046000748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13781859} λ = -0.13781859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26074046000748))-π/2
    2×atan(3.52803288768571)-π/2
    2×1.29459680299596-π/2
    2.58919360599192-1.57079632675     		φ = 1.01839728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13781859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.896424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01839728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.349866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62661 KachelY 39236 -0.13781859 1.01839728 -7.896424 58.349866
    Oben rechts KachelX + 1 62662 KachelY 39236 -0.13777065 1.01839728 -7.893677 58.349866
    Unten links KachelX 62661 KachelY + 1 39237 -0.13781859 1.01837212 -7.896424 58.348424
    Unten rechts KachelX + 1 62662 KachelY + 1 39237 -0.13777065 1.01837212 -7.893677 58.348424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01839728-1.01837212) × R
    2.51600000000796e-05 × 6371000     		dl = 160.294360000507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01839728-1.01837212) × R
    2.51600000000796e-05 × 6371000     		dr = 160.294360000507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13781859--0.13777065) × cos(1.01839728) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.524730969048012 × 6371000     		do = 160.266344522394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13781859--0.13777065) × cos(1.01837212) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.524752386787796 × 6371000     		du = 160.272886051416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01839728)-sin(1.01837212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524730969048012-0.524752386787796)×R²
    abs(-0.13777065--0.13781859)×2.14177397832582e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14177397832582e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14177397832582e-05×40589641000000     		ar = 25690.3154111815m²