Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62660 / 28755
↖ ↑ ↗
← N 70.536798°
W  7.899170°		 ← 101.75 m → N 70.536798°
W  7.896424°		 →
↑
101.81 m
↓
↑
101.81 m
↓
N 70.535882°
W  7.899170°		 ← 101.75 m →
10 359 m²		 N 70.535882°
W  7.896424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478061676025391 y=0.219387054443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478061676025391 × 217)
    floor (0.478061676025391 × 131072)
    floor (62660.5)     		tx = 62660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219387054443359 × 217)
    floor (0.219387054443359 × 131072)
    floor (28755.5)     		ty = 28755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62660 / 28755 ti = "17/62660/28755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62660/28755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62660 ÷ 217
    62660 ÷ 131072     		x = 0.478057861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28755 ÷ 217
    28755 ÷ 131072     		y = 0.219383239746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478057861328125 × 2 - 1) × π
    -0.04388427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13786652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219383239746094 × 2 - 1) × π
    0.561233520507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.76316710492529
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13786652} λ = -0.13786652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76316710492529))-π/2
    2×atan(5.83087517528387)-π/2
    2×1.40094784669574-π/2
    2.80189569339147-1.57079632675     		φ = 1.23109937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13786652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.899170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23109937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.536798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62660 KachelY 28755 -0.13786652 1.23109937 -7.899170 70.536798
    Oben rechts KachelX + 1 62661 KachelY 28755 -0.13781859 1.23109937 -7.896424 70.536798
    Unten links KachelX 62660 KachelY + 1 28756 -0.13786652 1.23108339 -7.899170 70.535882
    Unten rechts KachelX + 1 62661 KachelY + 1 28756 -0.13781859 1.23108339 -7.896424 70.535882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23109937-1.23108339) × R
    1.59799999999155e-05 × 6371000     		dl = 101.808579999462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23109937-1.23108339) × R
    1.59799999999155e-05 × 6371000     		dr = 101.808579999462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13786652--0.13781859) × cos(1.23109937) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.333201381436795 × 6371000     		do = 101.747050234347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13786652--0.13781859) × cos(1.23108339) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.333216448228069 × 6371000     		du = 101.751651060317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23109937)-sin(1.23108339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333201381436795-0.333216448228069)×R²
    abs(-0.13781859--0.13786652)×1.50667912741653e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.50667912741653e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.50667912741653e-05×40589641000000     		ar = 10358.9569055773m²