Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6266 / 6342
↖ ↑ ↗
← S 69.748551°
E 95.361328°		 ← 1 691.44 m → S 69.748551°
E 95.405274°		 →
↑
1 690.80 m
↓
↑
1 690.80 m
↓
S 69.763757°
E 95.361328°		 ← 1 690.22 m →
2 858 852 m²		 S 69.763757°
E 95.405274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76495361328125 y=0.77423095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76495361328125 × 213)
    floor (0.76495361328125 × 8192)
    floor (6266.5)     		tx = 6266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77423095703125 × 213)
    floor (0.77423095703125 × 8192)
    floor (6342.5)     		ty = 6342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6266 / 6342 ti = "13/6266/6342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6266/6342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6266 ÷ 213
    6266 ÷ 8192     		x = 0.764892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6342 ÷ 213
    6342 ÷ 8192     		y = 0.774169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764892578125 × 2 - 1) × π
    0.52978515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66436915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774169921875 × 2 - 1) × π
    -0.54833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72266042474634
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66436915} λ = 1.66436915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72266042474634))-π/2
    2×atan(0.178590389041307)-π/2
    2×0.176727230556573-π/2
    0.353454461113147-1.57079632675     		φ = -1.21734187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66436915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.361328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21734187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.748551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6266 KachelY 6342 1.66436915 -1.21734187 95.361328 -69.748551
    Oben rechts KachelX + 1 6267 KachelY 6342 1.66513615 -1.21734187 95.405274 -69.748551
    Unten links KachelX 6266 KachelY + 1 6343 1.66436915 -1.21760726 95.361328 -69.763757
    Unten rechts KachelX + 1 6267 KachelY + 1 6343 1.66513615 -1.21760726 95.405274 -69.763757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21734187--1.21760726) × R
    0.000265390000000032 × 6371000     		dl = 1690.7996900002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21734187--1.21760726) × R
    0.000265390000000032 × 6371000     		dr = 1690.7996900002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66436915-1.66513615) × cos(-1.21734187) × R
    0.000766999999999962 × 0.346140777508011 × 6371000     		do = 1691.43663931713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66436915-1.66513615) × cos(-1.21760726) × R
    0.000766999999999962 × 0.345891781045125 × 6371000     		du = 1690.21990390844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21734187)-sin(-1.21760726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346140777508011-0.345891781045125)×R²
    abs(1.66513615-1.66436915)×0.000248996462886286×R²
    0.000766999999999962×0.000248996462886286×6371000²
    0.000766999999999962×0.000248996462886286×40589641000000     		ar = 2858851.93426384m²