Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62658 / 39490
↖ ↑ ↗
← N 57.981896°
W  7.904663°		 ← 161.93 m → N 57.981896°
W  7.901916°		 →
↑
161.95 m
↓
↑
161.95 m
↓
N 57.980439°
W  7.904663°		 ← 161.94 m →
26 226 m²		 N 57.980439°
W  7.901916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478046417236328 y=0.301288604736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478046417236328 × 217)
    floor (0.478046417236328 × 131072)
    floor (62658.5)     		tx = 62658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301288604736328 × 217)
    floor (0.301288604736328 × 131072)
    floor (39490.5)     		ty = 39490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62658 / 39490 ti = "17/62658/39490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62658/39490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62658 ÷ 217
    62658 ÷ 131072     		x = 0.478042602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39490 ÷ 217
    39490 ÷ 131072     		y = 0.301284790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478042602539062 × 2 - 1) × π
    -0.043914794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13796240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301284790039062 × 2 - 1) × π
    0.397430419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.24856448750398
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13796240} λ = -0.13796240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24856448750398))-π/2
    2×atan(3.48533612107891)-π/2
    2×1.29138565692651-π/2
    2.58277131385302-1.57079632675     		φ = 1.01197499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13796240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.904663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01197499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.981896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62658 KachelY 39490 -0.13796240 1.01197499 -7.904663 57.981896
    Oben rechts KachelX + 1 62659 KachelY 39490 -0.13791446 1.01197499 -7.901916 57.981896
    Unten links KachelX 62658 KachelY + 1 39491 -0.13796240 1.01194957 -7.904663 57.980439
    Unten rechts KachelX + 1 62659 KachelY + 1 39491 -0.13791446 1.01194957 -7.901916 57.980439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01197499-1.01194957) × R
    2.54199999998317e-05 × 6371000     		dl = 161.950819998928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01197499-1.01194957) × R
    2.54199999998317e-05 × 6371000     		dr = 161.950819998928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13796240--0.13791446) × cos(1.01197499) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.530187200753059 × 6371000     		do = 161.932818128613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13796240--0.13791446) × cos(1.01194957) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.530208753706916 × 6371000     		du = 161.939400955494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01197499)-sin(1.01194957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530187200753059-0.530208753706916)×R²
    abs(-0.13791446--0.13796240)×2.15529538566406e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.15529538566406e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.15529538566406e-05×40589641000000     		ar = 26225.6857290398m²