Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62658 / 39419
↖ ↑ ↗
← N 58.085137°
W  7.904663°		 ← 161.47 m → N 58.085137°
W  7.901916°		 →
↑
161.50 m
↓
↑
161.50 m
↓
N 58.083685°
W  7.904663°		 ← 161.47 m →
26 078 m²		 N 58.083685°
W  7.901916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478046417236328 y=0.300746917724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478046417236328 × 217)
    floor (0.478046417236328 × 131072)
    floor (62658.5)     		tx = 62658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300746917724609 × 217)
    floor (0.300746917724609 × 131072)
    floor (39419.5)     		ty = 39419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62658 / 39419 ti = "17/62658/39419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62658/39419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62658 ÷ 217
    62658 ÷ 131072     		x = 0.478042602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39419 ÷ 217
    39419 ÷ 131072     		y = 0.300743103027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478042602539062 × 2 - 1) × π
    -0.043914794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13796240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300743103027344 × 2 - 1) × π
    0.398513793945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.25196800737701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13796240} λ = -0.13796240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25196800737701))-π/2
    2×atan(3.4972187417283)-π/2
    2×1.29228660718257-π/2
    2.58457321436514-1.57079632675     		φ = 1.01377689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13796240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.904663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01377689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.085137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62658 KachelY 39419 -0.13796240 1.01377689 -7.904663 58.085137
    Oben rechts KachelX + 1 62659 KachelY 39419 -0.13791446 1.01377689 -7.901916 58.085137
    Unten links KachelX 62658 KachelY + 1 39420 -0.13796240 1.01375154 -7.904663 58.083685
    Unten rechts KachelX + 1 62659 KachelY + 1 39420 -0.13791446 1.01375154 -7.901916 58.083685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01377689-1.01375154) × R
    2.53500000000351e-05 × 6371000     		dl = 161.504850000223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01377689-1.01375154) × R
    2.53500000000351e-05 × 6371000     		dr = 161.504850000223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13796240--0.13791446) × cos(1.01377689) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.52865854478787 × 6371000     		do = 161.46592724924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13796240--0.13791446) × cos(1.01375154) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.52868006257459 × 6371000     		du = 161.472499335171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01377689)-sin(1.01375154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52865854478787-0.52868006257459)×R²
    abs(-0.13791446--0.13796240)×2.15177867192162e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.15177867192162e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.15177867192162e-05×40589641000000     		ar = 26078.061073803m²