Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62658 / 39374
↖ ↑ ↗
← N 58.150418°
W  7.904663°		 ← 161.17 m → N 58.150418°
W  7.901916°		 →
↑
161.19 m
↓
↑
161.19 m
↓
N 58.148968°
W  7.904663°		 ← 161.18 m →
25 979 m²		 N 58.148968°
W  7.901916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478046417236328 y=0.300403594970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478046417236328 × 217)
    floor (0.478046417236328 × 131072)
    floor (62658.5)     		tx = 62658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300403594970703 × 217)
    floor (0.300403594970703 × 131072)
    floor (39374.5)     		ty = 39374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62658 / 39374 ti = "17/62658/39374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62658/39374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62658 ÷ 217
    62658 ÷ 131072     		x = 0.478042602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39374 ÷ 217
    39374 ÷ 131072     		y = 0.300399780273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478042602539062 × 2 - 1) × π
    -0.043914794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13796240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300399780273438 × 2 - 1) × π
    0.399200439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.25412516785991
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13796240} λ = -0.13796240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25412516785991))-π/2
    2×atan(3.50477094652832)-π/2
    2×1.2928562860015-π/2
    2.585712572003-1.57079632675     		φ = 1.01491625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13796240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.904663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01491625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.150418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62658 KachelY 39374 -0.13796240 1.01491625 -7.904663 58.150418
    Oben rechts KachelX + 1 62659 KachelY 39374 -0.13791446 1.01491625 -7.901916 58.150418
    Unten links KachelX 62658 KachelY + 1 39375 -0.13796240 1.01489095 -7.904663 58.148968
    Unten rechts KachelX + 1 62659 KachelY + 1 39375 -0.13791446 1.01489095 -7.901916 58.148968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01491625-1.01489095) × R
    2.52999999998949e-05 × 6371000     		dl = 161.18629999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01491625-1.01489095) × R
    2.52999999998949e-05 × 6371000     		dr = 161.18629999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13796240--0.13791446) × cos(1.01491625) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.527691073694155 × 6371000     		do = 161.170436674513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13796240--0.13791446) × cos(1.01489095) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.527712564265191 × 6371000     		du = 161.177000448074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01491625)-sin(1.01489095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527691073694155-0.527712564265191)×R²
    abs(-0.13791446--0.13796240)×2.14905710363977e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.14905710363977e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.14905710363977e-05×40589641000000     		ar = 25978.9953533955m²