Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62658 / 31805
↖ ↑ ↗
← N 67.545314°
W  7.904663°		 ← 116.66 m → N 67.545314°
W  7.901916°		 →
↑
116.65 m
↓
↑
116.65 m
↓
N 67.544265°
W  7.904663°		 ← 116.66 m →
13 609 m²		 N 67.544265°
W  7.901916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478046417236328 y=0.242656707763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478046417236328 × 217)
    floor (0.478046417236328 × 131072)
    floor (62658.5)     		tx = 62658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242656707763672 × 217)
    floor (0.242656707763672 × 131072)
    floor (31805.5)     		ty = 31805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62658 / 31805 ti = "17/62658/31805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62658/31805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62658 ÷ 217
    62658 ÷ 131072     		x = 0.478042602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31805 ÷ 217
    31805 ÷ 131072     		y = 0.242652893066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478042602539062 × 2 - 1) × π
    -0.043914794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13796240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242652893066406 × 2 - 1) × π
    0.514694213867188 × 3.1415926535     		Φ = 1.61695956108411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13796240} λ = -0.13796240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61695956108411))-π/2
    2×atan(5.03775003652957)-π/2
    2×1.37484222597306-π/2
    2.74968445194611-1.57079632675     		φ = 1.17888813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13796240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.904663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17888813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.545314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62658 KachelY 31805 -0.13796240 1.17888813 -7.904663 67.545314
    Oben rechts KachelX + 1 62659 KachelY 31805 -0.13791446 1.17888813 -7.901916 67.545314
    Unten links KachelX 62658 KachelY + 1 31806 -0.13796240 1.17886982 -7.904663 67.544265
    Unten rechts KachelX + 1 62659 KachelY + 1 31806 -0.13791446 1.17886982 -7.901916 67.544265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17888813-1.17886982) × R
    1.83099999999659e-05 × 6371000     		dl = 116.653009999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17888813-1.17886982) × R
    1.83099999999659e-05 × 6371000     		dr = 116.653009999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13796240--0.13791446) × cos(1.17888813) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.381952630382012 × 6371000     		do = 116.658164779431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13796240--0.13791446) × cos(1.17886982) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.381969552088612 × 6371000     		du = 116.663333104192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17888813)-sin(1.17886982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381952630382012-0.381969552088612)×R²
    abs(-0.13791446--0.13796240)×1.69217066002814e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.69217066002814e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.69217066002814e-05×40589641000000     		ar = 13608.827513322m²