Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62658 / 31804
↖ ↑ ↗
← N 67.546363°
W  7.904663°		 ← 116.65 m → N 67.546363°
W  7.901916°		 →
↑
116.59 m
↓
↑
116.59 m
↓
N 67.545314°
W  7.904663°		 ← 116.66 m →
13 601 m²		 N 67.545314°
W  7.901916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478046417236328 y=0.242649078369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478046417236328 × 217)
    floor (0.478046417236328 × 131072)
    floor (62658.5)     		tx = 62658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242649078369141 × 217)
    floor (0.242649078369141 × 131072)
    floor (31804.5)     		ty = 31804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62658 / 31804 ti = "17/62658/31804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62658/31804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62658 ÷ 217
    62658 ÷ 131072     		x = 0.478042602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31804 ÷ 217
    31804 ÷ 131072     		y = 0.242645263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478042602539062 × 2 - 1) × π
    -0.043914794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13796240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242645263671875 × 2 - 1) × π
    0.51470947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.61700749798373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13796240} λ = -0.13796240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61700749798373))-π/2
    2×atan(5.03799153643571)-π/2
    2×1.37485138058283-π/2
    2.74970276116565-1.57079632675     		φ = 1.17890643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13796240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.904663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17890643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.546363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62658 KachelY 31804 -0.13796240 1.17890643 -7.904663 67.546363
    Oben rechts KachelX + 1 62659 KachelY 31804 -0.13791446 1.17890643 -7.901916 67.546363
    Unten links KachelX 62658 KachelY + 1 31805 -0.13796240 1.17888813 -7.904663 67.545314
    Unten rechts KachelX + 1 62659 KachelY + 1 31805 -0.13791446 1.17888813 -7.901916 67.545314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17890643-1.17888813) × R
    1.83000000000266e-05 × 6371000     		dl = 116.58930000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17890643-1.17888813) × R
    1.83000000000266e-05 × 6371000     		dr = 116.58930000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13796240--0.13791446) × cos(1.17890643) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.381935717789249 × 6371000     		do = 116.652999238271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13796240--0.13791446) × cos(1.17888813) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.381952630382012 × 6371000     		du = 116.658164779431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17890643)-sin(1.17888813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381935717789249-0.381952630382012)×R²
    abs(-0.13791446--0.13796240)×1.69125927633185e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.69125927633185e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.69125927633185e-05×40589641000000     		ar = 13600.7926478859m²