Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62657 / 39362
↖ ↑ ↗
← N 58.167805°
W  7.907409°		 ← 161.06 m → N 58.167805°
W  7.904663°		 →
↑
161.06 m
↓
↑
161.06 m
↓
N 58.166357°
W  7.907409°		 ← 161.06 m →
25 940 m²		 N 58.166357°
W  7.904663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478038787841797 y=0.300312042236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478038787841797 × 217)
    floor (0.478038787841797 × 131072)
    floor (62657.5)     		tx = 62657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300312042236328 × 217)
    floor (0.300312042236328 × 131072)
    floor (39362.5)     		ty = 39362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62657 / 39362 ti = "17/62657/39362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62657/39362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62657 ÷ 217
    62657 ÷ 131072     		x = 0.478034973144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39362 ÷ 217
    39362 ÷ 131072     		y = 0.300308227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478034973144531 × 2 - 1) × π
    -0.0439300537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13801033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300308227539062 × 2 - 1) × π
    0.399383544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.25470041065535
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13801033} λ = -0.13801033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25470041065535))-π/2
    2×atan(3.50678762074802)-π/2
    2×1.29300802416943-π/2
    2.58601604833886-1.57079632675     		φ = 1.01521972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13801033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.907409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01521972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.167805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62657 KachelY 39362 -0.13801033 1.01521972 -7.907409 58.167805
    Oben rechts KachelX + 1 62658 KachelY 39362 -0.13796240 1.01521972 -7.904663 58.167805
    Unten links KachelX 62657 KachelY + 1 39363 -0.13801033 1.01519444 -7.907409 58.166357
    Unten rechts KachelX + 1 62658 KachelY + 1 39363 -0.13796240 1.01519444 -7.904663 58.166357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01521972-1.01519444) × R
    2.52800000000164e-05 × 6371000     		dl = 161.058880000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01521972-1.01519444) × R
    2.52800000000164e-05 × 6371000     		dr = 161.058880000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13801033--0.13796240) × cos(1.01521972) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.527433270947153 × 6371000     		do = 161.058094305875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13801033--0.13796240) × cos(1.01519444) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.527454748577121 × 6371000     		du = 161.064652758561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01521972)-sin(1.01519444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527433270947153-0.527454748577121)×R²
    abs(-0.13796240--0.13801033)×2.14776299687358e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.14776299687358e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.14776299687358e-05×40589641000000     		ar = 25940.3644339073m²