Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62657 / 31806
↖ ↑ ↗
← N 67.544265°
W  7.907409°		 ← 116.64 m → N 67.544265°
W  7.904663°		 →
↑
116.72 m
↓
↑
116.72 m
↓
N 67.543216°
W  7.907409°		 ← 116.64 m →
13 614 m²		 N 67.543216°
W  7.904663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478038787841797 y=0.242664337158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478038787841797 × 217)
    floor (0.478038787841797 × 131072)
    floor (62657.5)     		tx = 62657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242664337158203 × 217)
    floor (0.242664337158203 × 131072)
    floor (31806.5)     		ty = 31806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62657 / 31806 ti = "17/62657/31806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62657/31806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62657 ÷ 217
    62657 ÷ 131072     		x = 0.478034973144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31806 ÷ 217
    31806 ÷ 131072     		y = 0.242660522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478034973144531 × 2 - 1) × π
    -0.0439300537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13801033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242660522460938 × 2 - 1) × π
    0.514678955078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.61691162418449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13801033} λ = -0.13801033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61691162418449))-π/2
    2×atan(5.0375085481999)-π/2
    2×1.3748330709577-π/2
    2.74966614191541-1.57079632675     		φ = 1.17886982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13801033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.907409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17886982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.544265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62657 KachelY 31806 -0.13801033 1.17886982 -7.907409 67.544265
    Oben rechts KachelX + 1 62658 KachelY 31806 -0.13796240 1.17886982 -7.904663 67.544265
    Unten links KachelX 62657 KachelY + 1 31807 -0.13801033 1.17885150 -7.907409 67.543216
    Unten rechts KachelX + 1 62658 KachelY + 1 31807 -0.13796240 1.17885150 -7.904663 67.543216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17886982-1.17885150) × R
    1.83200000001271e-05 × 6371000     		dl = 116.71672000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17886982-1.17885150) × R
    1.83200000001271e-05 × 6371000     		dr = 116.71672000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13801033--0.13796240) × cos(1.17886982) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.381969552088612 × 6371000     		do = 116.638997823906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13801033--0.13796240) × cos(1.17885150) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.381986482908834 × 6371000     		du = 116.644167853538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17886982)-sin(1.17885150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381969552088612-0.381986482908834)×R²
    abs(-0.13796240--0.13801033)×1.69308202219165e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.69308202219165e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.69308202219165e-05×40589641000000     		ar = 13614.0229651037m²