Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62655 / 39383
↖ ↑ ↗
← N 58.137371°
W  7.912903°		 ← 161.23 m → N 58.137371°
W  7.910156°		 →
↑
161.19 m
↓
↑
161.19 m
↓
N 58.135921°
W  7.912903°		 ← 161.24 m →
25 989 m²		 N 58.135921°
W  7.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478023529052734 y=0.300472259521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478023529052734 × 217)
    floor (0.478023529052734 × 131072)
    floor (62655.5)     		tx = 62655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300472259521484 × 217)
    floor (0.300472259521484 × 131072)
    floor (39383.5)     		ty = 39383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62655 / 39383 ti = "17/62655/39383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62655/39383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62655 ÷ 217
    62655 ÷ 131072     		x = 0.478019714355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39383 ÷ 217
    39383 ÷ 131072     		y = 0.300468444824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478019714355469 × 2 - 1) × π
    -0.0439605712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13810621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300468444824219 × 2 - 1) × π
    0.399063110351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.25369373576333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13810621} λ = -0.13810621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25369373576333))-π/2
    2×atan(3.50325920198183)-π/2
    2×1.29274243370779-π/2
    2.58548486741557-1.57079632675     		φ = 1.01468854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13810621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.912903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01468854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.137371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62655 KachelY 39383 -0.13810621 1.01468854 -7.912903 58.137371
    Oben rechts KachelX + 1 62656 KachelY 39383 -0.13805827 1.01468854 -7.910156 58.137371
    Unten links KachelX 62655 KachelY + 1 39384 -0.13810621 1.01466324 -7.912903 58.135921
    Unten rechts KachelX + 1 62656 KachelY + 1 39384 -0.13805827 1.01466324 -7.910156 58.135921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01468854-1.01466324) × R
    2.53000000001169e-05 × 6371000     		dl = 161.186300000745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01468854-1.01466324) × R
    2.53000000001169e-05 × 6371000     		dr = 161.186300000745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13810621--0.13805827) × cos(1.01468854) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.527884485165282 × 6371000     		do = 161.229509516113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13810621--0.13805827) × cos(1.01466324) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.527905972695638 × 6371000     		du = 161.236072360973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01468854)-sin(1.01466324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527884485165282-0.527905972695638)×R²
    abs(-0.13805827--0.13810621)×2.14875303560236e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14875303560236e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14875303560236e-05×40589641000000     		ar = 25988.5170115964m²