Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62653 / 39627
↖ ↑ ↗
← N 57.781840°
W  7.918396°		 ← 162.84 m → N 57.781840°
W  7.915649°		 →
↑
162.78 m
↓
↑
162.78 m
↓
N 57.780376°
W  7.918396°		 ← 162.84 m →
26 507 m²		 N 57.780376°
W  7.915649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478008270263672 y=0.302333831787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478008270263672 × 217)
    floor (0.478008270263672 × 131072)
    floor (62653.5)     		tx = 62653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302333831787109 × 217)
    floor (0.302333831787109 × 131072)
    floor (39627.5)     		ty = 39627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62653 / 39627 ti = "17/62653/39627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62653/39627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62653 ÷ 217
    62653 ÷ 131072     		x = 0.478004455566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39627 ÷ 217
    39627 ÷ 131072     		y = 0.302330017089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478004455566406 × 2 - 1) × π
    -0.0439910888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13820208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302330017089844 × 2 - 1) × π
    0.395339965820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.24199713225603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13820208} λ = -0.13820208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24199713225603))-π/2
    2×atan(3.46252167788904)-π/2
    2×1.28963984047036-π/2
    2.57927968094073-1.57079632675     		φ = 1.00848335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13820208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.918396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00848335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.781840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62653 KachelY 39627 -0.13820208 1.00848335 -7.918396 57.781840
    Oben rechts KachelX + 1 62654 KachelY 39627 -0.13815414 1.00848335 -7.915649 57.781840
    Unten links KachelX 62653 KachelY + 1 39628 -0.13820208 1.00845780 -7.918396 57.780376
    Unten rechts KachelX + 1 62654 KachelY + 1 39628 -0.13815414 1.00845780 -7.915649 57.780376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00848335-1.00845780) × R
    2.55499999999298e-05 × 6371000     		dl = 162.779049999553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00848335-1.00845780) × R
    2.55499999999298e-05 × 6371000     		dr = 162.779049999553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13820208--0.13815414) × cos(1.00848335) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.533144456698976 × 6371000     		do = 162.83604021417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13820208--0.13815414) × cos(1.00845780) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.533166072443888 × 6371000     		du = 162.842642219056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00848335)-sin(1.00845780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533144456698976-0.533166072443888)×R²
    abs(-0.13815414--0.13820208)×2.16157449122178e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16157449122178e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16157449122178e-05×40589641000000     		ar = 26506.8332672345m²