Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62652 / 39625
↖ ↑ ↗
← N 57.784769°
W  7.921143°		 ← 162.82 m → N 57.784769°
W  7.918396°		 →
↑
162.84 m
↓
↑
162.84 m
↓
N 57.783304°
W  7.921143°		 ← 162.83 m →
26 515 m²		 N 57.783304°
W  7.918396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478000640869141 y=0.302318572998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478000640869141 × 217)
    floor (0.478000640869141 × 131072)
    floor (62652.5)     		tx = 62652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302318572998047 × 217)
    floor (0.302318572998047 × 131072)
    floor (39625.5)     		ty = 39625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62652 / 39625 ti = "17/62652/39625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62652/39625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62652 ÷ 217
    62652 ÷ 131072     		x = 0.477996826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39625 ÷ 217
    39625 ÷ 131072     		y = 0.302314758300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477996826171875 × 2 - 1) × π
    -0.04400634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13825002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302314758300781 × 2 - 1) × π
    0.395370483398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.24209300605528
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13825002} λ = -0.13825002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24209300605528))-π/2
    2×atan(3.46285365891113)-π/2
    2×1.28966539672602-π/2
    2.57933079345204-1.57079632675     		φ = 1.00853447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13825002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.921143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00853447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.784769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62652 KachelY 39625 -0.13825002 1.00853447 -7.921143 57.784769
    Oben rechts KachelX + 1 62653 KachelY 39625 -0.13820208 1.00853447 -7.918396 57.784769
    Unten links KachelX 62652 KachelY + 1 39626 -0.13825002 1.00850891 -7.921143 57.783304
    Unten rechts KachelX + 1 62653 KachelY + 1 39626 -0.13820208 1.00850891 -7.918396 57.783304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00853447-1.00850891) × R
    2.55600000000911e-05 × 6371000     		dl = 162.84276000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00853447-1.00850891) × R
    2.55600000000911e-05 × 6371000     		dr = 162.84276000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13825002--0.13820208) × cos(1.00853447) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.533101207244022 × 6371000     		do = 162.822830717386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13825002--0.13820208) × cos(1.00850891) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.533122832145647 × 6371000     		du = 162.829435518968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00853447)-sin(1.00850891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533101207244022-0.533122832145647)×R²
    abs(-0.13820208--0.13825002)×2.16249016253833e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16249016253833e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16249016253833e-05×40589641000000     		ar = 26515.0569184625m²