Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62652 / 39444
↖ ↑ ↗
← N 58.048819°
W  7.921143°		 ← 161.63 m → N 58.048819°
W  7.918396°		 →
↑
161.63 m
↓
↑
161.63 m
↓
N 58.047365°
W  7.921143°		 ← 161.64 m →
26 125 m²		 N 58.047365°
W  7.918396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478000640869141 y=0.300937652587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478000640869141 × 217)
    floor (0.478000640869141 × 131072)
    floor (62652.5)     		tx = 62652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300937652587891 × 217)
    floor (0.300937652587891 × 131072)
    floor (39444.5)     		ty = 39444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62652 / 39444 ti = "17/62652/39444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62652/39444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62652 ÷ 217
    62652 ÷ 131072     		x = 0.477996826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39444 ÷ 217
    39444 ÷ 131072     		y = 0.300933837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477996826171875 × 2 - 1) × π
    -0.04400634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13825002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300933837890625 × 2 - 1) × π
    0.39813232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.25076958488651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13825002} λ = -0.13825002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25076958488651))-π/2
    2×atan(3.49303010651265)-π/2
    2×1.29196966787971-π/2
    2.58393933575943-1.57079632675     		φ = 1.01314301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13825002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.921143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01314301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.048819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62652 KachelY 39444 -0.13825002 1.01314301 -7.921143 58.048819
    Oben rechts KachelX + 1 62653 KachelY 39444 -0.13820208 1.01314301 -7.918396 58.048819
    Unten links KachelX 62652 KachelY + 1 39445 -0.13825002 1.01311764 -7.921143 58.047365
    Unten rechts KachelX + 1 62653 KachelY + 1 39445 -0.13820208 1.01311764 -7.918396 58.047365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01314301-1.01311764) × R
    2.53700000001356e-05 × 6371000     		dl = 161.632270000864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01314301-1.01311764) × R
    2.53700000001356e-05 × 6371000     		dr = 161.632270000864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13825002--0.13820208) × cos(1.01314301) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.52919649780645 × 6371000     		do = 161.630231947931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13825002--0.13820208) × cos(1.01311764) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.529218024063453 × 6371000     		du = 161.636806620905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01314301)-sin(1.01311764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52919649780645-0.529218024063453)×R²
    abs(-0.13820208--0.13825002)×2.15262570024688e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15262570024688e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15262570024688e-05×40589641000000     		ar = 26125.1926316387m²