Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62652 / 33644
↖ ↑ ↗
← N 65.535721°
W  7.921143°		 ← 126.48 m → N 65.535721°
W  7.918396°		 →
↑
126.46 m
↓
↑
126.46 m
↓
N 65.534584°
W  7.921143°		 ← 126.49 m →
15 996 m²		 N 65.534584°
W  7.918396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478000640869141 y=0.256687164306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478000640869141 × 217)
    floor (0.478000640869141 × 131072)
    floor (62652.5)     		tx = 62652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256687164306641 × 217)
    floor (0.256687164306641 × 131072)
    floor (33644.5)     		ty = 33644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62652 / 33644 ti = "17/62652/33644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62652/33644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62652 ÷ 217
    62652 ÷ 131072     		x = 0.477996826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33644 ÷ 217
    33644 ÷ 131072     		y = 0.256683349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477996826171875 × 2 - 1) × π
    -0.04400634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13825002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256683349609375 × 2 - 1) × π
    0.48663330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.52880360268283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13825002} λ = -0.13825002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52880360268283))-π/2
    2×atan(4.61265495177356)-π/2
    2×1.35730521876496-π/2
    2.71461043752992-1.57079632675     		φ = 1.14381411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13825002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.921143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14381411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.535721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62652 KachelY 33644 -0.13825002 1.14381411 -7.921143 65.535721
    Oben rechts KachelX + 1 62653 KachelY 33644 -0.13820208 1.14381411 -7.918396 65.535721
    Unten links KachelX 62652 KachelY + 1 33645 -0.13825002 1.14379426 -7.921143 65.534584
    Unten rechts KachelX + 1 62653 KachelY + 1 33645 -0.13820208 1.14379426 -7.918396 65.534584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14381411-1.14379426) × R
    1.98500000001545e-05 × 6371000     		dl = 126.464350000984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14381411-1.14379426) × R
    1.98500000001545e-05 × 6371000     		dr = 126.464350000984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13825002--0.13820208) × cos(1.14381411) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.41412584679636 × 6371000     		do = 126.484693210895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13825002--0.13820208) × cos(1.14379426) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.414143914574516 × 6371000     		du = 126.490211575409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14381411)-sin(1.14379426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41412584679636-0.414143914574516)×R²
    abs(-0.13820208--0.13825002)×1.80677781562166e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.80677781562166e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.80677781562166e-05×40589641000000     		ar = 15996.1534506734m²