Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62651 / 33677
↖ ↑ ↗
← N 65.498159°
W  7.923889°		 ← 126.67 m → N 65.498159°
W  7.921143°		 →
↑
126.66 m
↓
↑
126.66 m
↓
N 65.497020°
W  7.923889°		 ← 126.67 m →
16 043 m²		 N 65.497020°
W  7.921143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477993011474609 y=0.256938934326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477993011474609 × 217)
    floor (0.477993011474609 × 131072)
    floor (62651.5)     		tx = 62651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256938934326172 × 217)
    floor (0.256938934326172 × 131072)
    floor (33677.5)     		ty = 33677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62651 / 33677 ti = "17/62651/33677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62651/33677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62651 ÷ 217
    62651 ÷ 131072     		x = 0.477989196777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33677 ÷ 217
    33677 ÷ 131072     		y = 0.256935119628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477989196777344 × 2 - 1) × π
    -0.0440216064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13829796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256935119628906 × 2 - 1) × π
    0.486129760742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.52722168499537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13829796} λ = -0.13829796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52722168499537))-π/2
    2×atan(4.60536387977754)-π/2
    2×1.35697742635171-π/2
    2.71395485270342-1.57079632675     		φ = 1.14315853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13829796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.923889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14315853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.498159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62651 KachelY 33677 -0.13829796 1.14315853 -7.923889 65.498159
    Oben rechts KachelX + 1 62652 KachelY 33677 -0.13825002 1.14315853 -7.921143 65.498159
    Unten links KachelX 62651 KachelY + 1 33678 -0.13829796 1.14313865 -7.923889 65.497020
    Unten rechts KachelX + 1 62652 KachelY + 1 33678 -0.13825002 1.14313865 -7.921143 65.497020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14315853-1.14313865) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dl = 126.655479999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14315853-1.14313865) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dr = 126.655479999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13829796--0.13825002) × cos(1.14315853) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.414722479549033 × 6371000     		do = 126.666920210889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13829796--0.13825002) × cos(1.14313865) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.414740569232252 × 6371000     		du = 126.672445265772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14315853)-sin(1.14313865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414722479549033-0.414740569232252)×R²
    abs(-0.13825002--0.13829796)×1.80896832188693e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.80896832188693e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.80896832188693e-05×40589641000000     		ar = 16043.4094691266m²