Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62650 / 39388
↖ ↑ ↗
← N 58.130121°
W  7.926636°		 ← 161.23 m → N 58.130121°
W  7.923889°		 →
↑
161.25 m
↓
↑
161.25 m
↓
N 58.128670°
W  7.926636°		 ← 161.24 m →
25 999 m²		 N 58.128670°
W  7.923889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477985382080078 y=0.300510406494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477985382080078 × 217)
    floor (0.477985382080078 × 131072)
    floor (62650.5)     		tx = 62650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300510406494141 × 217)
    floor (0.300510406494141 × 131072)
    floor (39388.5)     		ty = 39388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62650 / 39388 ti = "17/62650/39388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62650/39388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62650 ÷ 217
    62650 ÷ 131072     		x = 0.477981567382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39388 ÷ 217
    39388 ÷ 131072     		y = 0.300506591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477981567382812 × 2 - 1) × π
    -0.044036865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13834589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300506591796875 × 2 - 1) × π
    0.39898681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25345405126523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13834589} λ = -0.13834589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25345405126523))-π/2
    2×atan(3.50241962567902)-π/2
    2×1.2926791644045-π/2
    2.58535832880899-1.57079632675     		φ = 1.01456200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13834589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.926636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01456200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.130121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62650 KachelY 39388 -0.13834589 1.01456200 -7.926636 58.130121
    Oben rechts KachelX + 1 62651 KachelY 39388 -0.13829796 1.01456200 -7.923889 58.130121
    Unten links KachelX 62650 KachelY + 1 39389 -0.13834589 1.01453669 -7.926636 58.128670
    Unten rechts KachelX + 1 62651 KachelY + 1 39389 -0.13829796 1.01453669 -7.923889 58.128670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01456200-1.01453669) × R
    2.53100000000561e-05 × 6371000     		dl = 161.250010000358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01456200-1.01453669) × R
    2.53100000000561e-05 × 6371000     		dr = 161.250010000358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13834589--0.13829796) × cos(1.01456200) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.527991953407826 × 6371000     		do = 161.228694716285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13834589--0.13829796) × cos(1.01453669) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.528013447740334 × 6371000     		du = 161.235258269293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01456200)-sin(1.01453669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527991953407826-0.528013447740334)×R²
    abs(-0.13829796--0.13834589)×2.14943325076433e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14943325076433e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14943325076433e-05×40589641000000     		ar = 25998.6578231973m²