Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62650 / 39338
↖ ↑ ↗
← N 58.202556°
W  7.926636°		 ← 160.90 m → N 58.202556°
W  7.923889°		 →
↑
160.93 m
↓
↑
160.93 m
↓
N 58.201108°
W  7.926636°		 ← 160.91 m →
25 895 m²		 N 58.201108°
W  7.923889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477985382080078 y=0.300128936767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477985382080078 × 217)
    floor (0.477985382080078 × 131072)
    floor (62650.5)     		tx = 62650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300128936767578 × 217)
    floor (0.300128936767578 × 131072)
    floor (39338.5)     		ty = 39338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62650 / 39338 ti = "17/62650/39338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62650/39338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62650 ÷ 217
    62650 ÷ 131072     		x = 0.477981567382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39338 ÷ 217
    39338 ÷ 131072     		y = 0.300125122070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477981567382812 × 2 - 1) × π
    -0.044036865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13834589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300125122070312 × 2 - 1) × π
    0.399749755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25585089624623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13834589} λ = -0.13834589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25585089624623))-π/2
    2×atan(3.51082445108828)-π/2
    2×1.29331127810756-π/2
    2.58662255621513-1.57079632675     		φ = 1.01582623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13834589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.926636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01582623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.202556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62650 KachelY 39338 -0.13834589 1.01582623 -7.926636 58.202556
    Oben rechts KachelX + 1 62651 KachelY 39338 -0.13829796 1.01582623 -7.923889 58.202556
    Unten links KachelX 62650 KachelY + 1 39339 -0.13834589 1.01580097 -7.926636 58.201108
    Unten rechts KachelX + 1 62651 KachelY + 1 39339 -0.13829796 1.01580097 -7.923889 58.201108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01582623-1.01580097) × R
    2.52600000001379e-05 × 6371000     		dl = 160.931460000879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01582623-1.01580097) × R
    2.52600000001379e-05 × 6371000     		dr = 160.931460000879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13834589--0.13829796) × cos(1.01582623) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.526917885220526 × 6371000     		do = 160.900715074252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13834589--0.13829796) × cos(1.01580097) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.52693935393556 × 6371000     		du = 160.907270804656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01582623)-sin(1.01580097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526917885220526-0.52693935393556)×R²
    abs(-0.13829796--0.13834589)×2.14687150340565e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14687150340565e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14687150340565e-05×40589641000000     		ar = 25894.514505042m²