Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6265 / 7241
↖ ↑ ↗
← N 20.447603°
W 42.341308°		 ← 2 289.27 m → N 20.447603°
W 42.319336°		 →
↑
2 289.48 m
↓
↑
2 289.48 m
↓
N 20.427013°
W 42.341308°		 ← 2 289.58 m →
5 241 601 m²		 N 20.427013°
W 42.319336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382415771484375 y=0.441986083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382415771484375 × 214)
    floor (0.382415771484375 × 16384)
    floor (6265.5)     		tx = 6265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441986083984375 × 214)
    floor (0.441986083984375 × 16384)
    floor (7241.5)     		ty = 7241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6265 / 7241 ti = "14/6265/7241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6265/7241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6265 ÷ 214
    6265 ÷ 16384     		x = 0.38238525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7241 ÷ 214
    7241 ÷ 16384     		y = 0.44195556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38238525390625 × 2 - 1) × π
    -0.2352294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73899524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44195556640625 × 2 - 1) × π
    0.1160888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.364703932309387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73899524} λ = -0.73899524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.364703932309387))-π/2
    2×atan(1.4400875816222)-π/2
    2×0.963837156380917-π/2
    1.92767431276183-1.57079632675     		φ = 0.35687799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73899524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.341308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35687799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.447603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6265 KachelY 7241 -0.73899524 0.35687799 -42.341308 20.447603
    Oben rechts KachelX + 1 6266 KachelY 7241 -0.73861175 0.35687799 -42.319336 20.447603
    Unten links KachelX 6265 KachelY + 1 7242 -0.73899524 0.35651863 -42.341308 20.427013
    Unten rechts KachelX + 1 6266 KachelY + 1 7242 -0.73861175 0.35651863 -42.319336 20.427013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35687799-0.35651863) × R
    0.000359359999999975 × 6371000     		dl = 2289.48255999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35687799-0.35651863) × R
    0.000359359999999975 × 6371000     		dr = 2289.48255999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73899524--0.73861175) × cos(0.35687799) × R
    0.000383490000000042 × 0.936992064505939 × 6371000     		do = 2289.27287011379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73899524--0.73861175) × cos(0.35651863) × R
    0.000383490000000042 × 0.937117546648546 × 6371000     		du = 2289.57944994049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35687799)-sin(0.35651863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936992064505939-0.937117546648546)×R²
    abs(-0.73861175--0.73899524)×0.000125482142606326×R²
    0.000383490000000042×0.000125482142606326×6371000²
    0.000383490000000042×0.000125482142606326×40589641000000     		ar = 5241601.32219713m²