Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6265 / 6348
↖ ↑ ↗
← S 69.839622°
E 95.317383°		 ← 1 684.13 m → S 69.839622°
E 95.361328°		 →
↑
1 683.54 m
↓
↑
1 683.54 m
↓
S 69.854762°
E 95.317383°		 ← 1 682.91 m →
2 834 267 m²		 S 69.854762°
E 95.361328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76483154296875 y=0.77496337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76483154296875 × 213)
    floor (0.76483154296875 × 8192)
    floor (6265.5)     		tx = 6265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77496337890625 × 213)
    floor (0.77496337890625 × 8192)
    floor (6348.5)     		ty = 6348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6265 / 6348 ti = "13/6265/6348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6265/6348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6265 ÷ 213
    6265 ÷ 8192     		x = 0.7647705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6348 ÷ 213
    6348 ÷ 8192     		y = 0.77490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7647705078125 × 2 - 1) × π
    0.529541015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66360216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77490234375 × 2 - 1) × π
    -0.5498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72726236710986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66360216} λ = 1.66360216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72726236710986))-π/2
    2×atan(0.177770414549045)-π/2
    2×0.175932487799534-π/2
    0.351864975599068-1.57079632675     		φ = -1.21893135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66360216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.317383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21893135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.839622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6265 KachelY 6348 1.66360216 -1.21893135 95.317383 -69.839622
    Oben rechts KachelX + 1 6266 KachelY 6348 1.66436915 -1.21893135 95.361328 -69.839622
    Unten links KachelX 6265 KachelY + 1 6349 1.66360216 -1.21919560 95.317383 -69.854762
    Unten rechts KachelX + 1 6266 KachelY + 1 6349 1.66436915 -1.21919560 95.361328 -69.854762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21893135--1.21919560) × R
    0.000264249999999855 × 6371000     		dl = 1683.53674999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21893135--1.21919560) × R
    0.000264249999999855 × 6371000     		dr = 1683.53674999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66360216-1.66436915) × cos(-1.21893135) × R
    0.000766990000000023 × 0.344649118428257 × 6371000     		do = 1684.12560460414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66360216-1.66436915) × cos(-1.21919560) × R
    0.000766990000000023 × 0.344401046577212 × 6371000     		du = 1682.91340316857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21893135)-sin(-1.21919560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344649118428257-0.344401046577212)×R²
    abs(1.66436915-1.66360216)×0.000248071851045195×R²
    0.000766990000000023×0.000248071851045195×6371000²
    0.000766990000000023×0.000248071851045195×40589641000000     		ar = 2834266.97062406m²