Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62649 / 39333
↖ ↑ ↗
← N 58.209791°
W  7.929382°		 ← 160.90 m → N 58.209791°
W  7.926636°		 →
↑
160.87 m
↓
↑
160.87 m
↓
N 58.208344°
W  7.929382°		 ← 160.91 m →
25 884 m²		 N 58.208344°
W  7.926636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477977752685547 y=0.300090789794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477977752685547 × 217)
    floor (0.477977752685547 × 131072)
    floor (62649.5)     		tx = 62649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300090789794922 × 217)
    floor (0.300090789794922 × 131072)
    floor (39333.5)     		ty = 39333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62649 / 39333 ti = "17/62649/39333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62649/39333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62649 ÷ 217
    62649 ÷ 131072     		x = 0.477973937988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39333 ÷ 217
    39333 ÷ 131072     		y = 0.300086975097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477973937988281 × 2 - 1) × π
    -0.0440521240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13839383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300086975097656 × 2 - 1) × π
    0.399826049804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.25609058074433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13839383} λ = -0.13839383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25609058074433))-π/2
    2×atan(3.51166604213889)-π/2
    2×1.29337441870043-π/2
    2.58674883740085-1.57079632675     		φ = 1.01595251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13839383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.929382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01595251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.209791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62649 KachelY 39333 -0.13839383 1.01595251 -7.929382 58.209791
    Oben rechts KachelX + 1 62650 KachelY 39333 -0.13834589 1.01595251 -7.926636 58.209791
    Unten links KachelX 62649 KachelY + 1 39334 -0.13839383 1.01592726 -7.929382 58.208344
    Unten rechts KachelX + 1 62650 KachelY + 1 39334 -0.13834589 1.01592726 -7.926636 58.208344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01595251-1.01592726) × R
    2.52499999999767e-05 × 6371000     		dl = 160.867749999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01595251-1.01592726) × R
    2.52499999999767e-05 × 6371000     		dr = 160.867749999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13839383--0.13834589) × cos(1.01595251) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.526810553602146 × 6371000     		do = 160.901503173733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13839383--0.13834589) × cos(1.01592726) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.526832015498129 × 6371000     		du = 160.908058189195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01595251)-sin(1.01592726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526810553602146-0.526832015498129)×R²
    abs(-0.13834589--0.13839383)×2.14618959826218e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14618959826218e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14618959826218e-05×40589641000000     		ar = 25884.3900339963m²