Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62648 / 39620
↖ ↑ ↗
← N 57.792089°
W  7.932129°		 ← 162.79 m → N 57.792089°
W  7.929382°		 →
↑
162.78 m
↓
↑
162.78 m
↓
N 57.790625°
W  7.932129°		 ← 162.80 m →
26 499 m²		 N 57.790625°
W  7.929382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477970123291016 y=0.302280426025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477970123291016 × 217)
    floor (0.477970123291016 × 131072)
    floor (62648.5)     		tx = 62648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302280426025391 × 217)
    floor (0.302280426025391 × 131072)
    floor (39620.5)     		ty = 39620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62648 / 39620 ti = "17/62648/39620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62648/39620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62648 ÷ 217
    62648 ÷ 131072     		x = 0.47796630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39620 ÷ 217
    39620 ÷ 131072     		y = 0.302276611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47796630859375 × 2 - 1) × π
    -0.0440673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13844177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302276611328125 × 2 - 1) × π
    0.39544677734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.24233269055338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13844177} λ = -0.13844177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24233269055338))-π/2
    2×atan(3.46368375072846)-π/2
    2×1.28972927829649-π/2
    2.57945855659298-1.57079632675     		φ = 1.00866223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13844177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.932129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00866223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.792089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62648 KachelY 39620 -0.13844177 1.00866223 -7.932129 57.792089
    Oben rechts KachelX + 1 62649 KachelY 39620 -0.13839383 1.00866223 -7.929382 57.792089
    Unten links KachelX 62648 KachelY + 1 39621 -0.13844177 1.00863668 -7.932129 57.790625
    Unten rechts KachelX + 1 62649 KachelY + 1 39621 -0.13839383 1.00863668 -7.929382 57.790625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00866223-1.00863668) × R
    2.55500000001518e-05 × 6371000     		dl = 162.779050000967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00866223-1.00863668) × R
    2.55500000001518e-05 × 6371000     		dr = 162.779050000967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13844177--0.13839383) × cos(1.00866223) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.532993111356728 × 6371000     		do = 162.789815451018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13844177--0.13839383) × cos(1.00863668) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.533014729538018 × 6371000     		du = 162.796418200037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00866223)-sin(1.00863668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532993111356728-0.533014729538018)×R²
    abs(-0.13839383--0.13844177)×2.16181812908722e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16181812908722e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16181812908722e-05×40589641000000     		ar = 26499.3089051363m²