Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62645 / 33671
↖ ↑ ↗
← N 65.504992°
W  7.940369°		 ← 126.63 m → N 65.504992°
W  7.937622°		 →
↑
126.59 m
↓
↑
126.59 m
↓
N 65.503854°
W  7.940369°		 ← 126.64 m →
16 031 m²		 N 65.503854°
W  7.937622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477947235107422 y=0.256893157958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477947235107422 × 217)
    floor (0.477947235107422 × 131072)
    floor (62645.5)     		tx = 62645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256893157958984 × 217)
    floor (0.256893157958984 × 131072)
    floor (33671.5)     		ty = 33671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62645 / 33671 ti = "17/62645/33671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62645/33671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62645 ÷ 217
    62645 ÷ 131072     		x = 0.477943420410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33671 ÷ 217
    33671 ÷ 131072     		y = 0.256889343261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477943420410156 × 2 - 1) × π
    -0.0441131591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13858558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256889343261719 × 2 - 1) × π
    0.486221313476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.52750930639309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13858558} λ = -0.13858558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52750930639309))-π/2
    2×atan(4.60668867148374)-π/2
    2×1.3570370600777-π/2
    2.7140741201554-1.57079632675     		φ = 1.14327779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13858558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.940369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14327779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.504992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62645 KachelY 33671 -0.13858558 1.14327779 -7.940369 65.504992
    Oben rechts KachelX + 1 62646 KachelY 33671 -0.13853764 1.14327779 -7.937622 65.504992
    Unten links KachelX 62645 KachelY + 1 33672 -0.13858558 1.14325792 -7.940369 65.503854
    Unten rechts KachelX + 1 62646 KachelY + 1 33672 -0.13853764 1.14325792 -7.937622 65.503854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14327779-1.14325792) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dl = 126.59177000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14327779-1.14325792) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dr = 126.59177000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13858558--0.13853764) × cos(1.14327779) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.414613956207928 × 6371000     		do = 126.633774389197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13858558--0.13853764) × cos(1.14325792) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.414632037774409 × 6371000     		du = 126.63929696502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14327779)-sin(1.14325792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414613956207928-0.414632037774409)×R²
    abs(-0.13853764--0.13858558)×1.80815664809764e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.80815664809764e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.80815664809764e-05×40589641000000     		ar = 16031.1431985709m²