Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62642 / 39391
↖ ↑ ↗
← N 58.125770°
W  7.948609°		 ← 161.28 m → N 58.125770°
W  7.945862°		 →
↑
161.31 m
↓
↑
161.31 m
↓
N 58.124319°
W  7.948609°		 ← 161.29 m →
26 018 m²		 N 58.124319°
W  7.945862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477924346923828 y=0.300533294677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477924346923828 × 217)
    floor (0.477924346923828 × 131072)
    floor (62642.5)     		tx = 62642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300533294677734 × 217)
    floor (0.300533294677734 × 131072)
    floor (39391.5)     		ty = 39391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62642 / 39391 ti = "17/62642/39391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62642/39391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62642 ÷ 217
    62642 ÷ 131072     		x = 0.477920532226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39391 ÷ 217
    39391 ÷ 131072     		y = 0.300529479980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477920532226562 × 2 - 1) × π
    -0.044158935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13872939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300529479980469 × 2 - 1) × π
    0.398941040039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.25331024056637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13872939} λ = -0.13872939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25331024056637))-π/2
    2×atan(3.50191597648089)-π/2
    2×1.29264119664027-π/2
    2.58528239328055-1.57079632675     		φ = 1.01448607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13872939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.948609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01448607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.125770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62642 KachelY 39391 -0.13872939 1.01448607 -7.948609 58.125770
    Oben rechts KachelX + 1 62643 KachelY 39391 -0.13868145 1.01448607 -7.945862 58.125770
    Unten links KachelX 62642 KachelY + 1 39392 -0.13872939 1.01446075 -7.948609 58.124319
    Unten rechts KachelX + 1 62643 KachelY + 1 39392 -0.13868145 1.01446075 -7.945862 58.124319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01448607-1.01446075) × R
    2.53199999999953e-05 × 6371000     		dl = 161.31371999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01448607-1.01446075) × R
    2.53199999999953e-05 × 6371000     		dr = 161.31371999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13872939--0.13868145) × cos(1.01448607) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.528056435390605 × 6371000     		do = 161.282027540925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13872939--0.13868145) × cos(1.01446075) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.5280779372003 × 6371000     		du = 161.288594747063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01448607)-sin(1.01446075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528056435390605-0.5280779372003)×R²
    abs(-0.13868145--0.13872939)×2.15018096951791e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15018096951791e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15018096951791e-05×40589641000000     		ar = 26017.5335233491m²