Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62642 / 34291
↖ ↑ ↗
← N 64.789338°
W  7.948609°		 ← 130.10 m → N 64.789338°
W  7.945862°		 →
↑
130.10 m
↓
↑
130.10 m
↓
N 64.788168°
W  7.948609°		 ← 130.10 m →
16 925 m²		 N 64.788168°
W  7.945862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477924346923828 y=0.261623382568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477924346923828 × 217)
    floor (0.477924346923828 × 131072)
    floor (62642.5)     		tx = 62642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261623382568359 × 217)
    floor (0.261623382568359 × 131072)
    floor (34291.5)     		ty = 34291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62642 / 34291 ti = "17/62642/34291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62642/34291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62642 ÷ 217
    62642 ÷ 131072     		x = 0.477920532226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34291 ÷ 217
    34291 ÷ 131072     		y = 0.261619567871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477920532226562 × 2 - 1) × π
    -0.044158935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13872939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261619567871094 × 2 - 1) × π
    0.476760864257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.49778842862865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13872939} λ = -0.13872939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49778842862865))-π/2
    2×atan(4.47178844709766)-π/2
    2×1.35079180017939-π/2
    2.70158360035877-1.57079632675     		φ = 1.13078727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13872939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.948609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13078727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.789338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62642 KachelY 34291 -0.13872939 1.13078727 -7.948609 64.789338
    Oben rechts KachelX + 1 62643 KachelY 34291 -0.13868145 1.13078727 -7.945862 64.789338
    Unten links KachelX 62642 KachelY + 1 34292 -0.13872939 1.13076685 -7.948609 64.788168
    Unten rechts KachelX + 1 62643 KachelY + 1 34292 -0.13868145 1.13076685 -7.945862 64.788168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13078727-1.13076685) × R
    2.04199999997989e-05 × 6371000     		dl = 130.095819998719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13078727-1.13076685) × R
    2.04199999997989e-05 × 6371000     		dr = 130.095819998719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13872939--0.13868145) × cos(1.13078727) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.425947659198777 × 6371000     		do = 130.095379012044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13872939--0.13868145) × cos(1.13076685) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.425966134060159 × 6371000     		du = 130.101021710253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13078727)-sin(1.13076685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425947659198777-0.425966134060159)×R²
    abs(-0.13868145--0.13872939)×1.84748613825114e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84748613825114e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84748613825114e-05×40589641000000     		ar = 16925.2320569311m²